αÁlgebra básica — Teoría por niveles

Pre-Álgebra — Ideas que preparan el terreno

Aquí introduces letras para representar números, construyes expresiones y resuelves ecuaciones de uno o dos pasos. El objetivo es comprender qué significa operar con incógnitas y por qué las reglas funcionan.

¿Qué es una variable? Expresiones y evaluación Distributiva y simplificación Ecuaciones de un paso Coordenadas, patrones y reglas

¿Qué es una variable? concepto

Una variable es un símbolo (como x o y) que representa un número que puede cambiar o que aún no conocemos. Una constante es un número fijo. Una expresión combina variables, números y operaciones (por ejemplo, 3x + 2).

Ejemplo resuelto

Problema: “Tengo el triple de canicas que tú. Si tú tienes 5, ¿cuántas tengo yo?”

  1. Sea x la cantidad que tienes tú. Entonces yo tengo 3x.
  2. Sustituye x=5 → 3·5 = 15.
  3. Respuesta: 15 canicas.

Ejercicios (5)

  1. Si una caja pesa 2 kg y el relleno pesa x kg, escribe la masa total.
  2. Escribe un modelo para “el doble de un número menos 7”.
  3. Evalúa 4x−3 para x=6.
  4. Si y es la edad de Ana, expresa la edad de su hermano que es 3 años menor.
  5. Traduce “cinco más la mitad de un número n”.

Expresiones y evaluación orden de operaciones

Para evaluar una expresión: sustituye la variable y aplica el orden de operaciones (paréntesis, potencias, multiplicación/división, suma/resta). Simplificar significa combinar términos semejantes (los que tienen la misma variable y exponente).

Ejemplo resuelto

Problema: Evalúa 2(3a−1)+4 para a=2.

  1. Sustituye a=2 → 2(3·2−1)+4 = 2(6−1)+4.
  2. Paréntesis primero → 2·5 + 4 = 10 + 4.
  3. Resultado → 14.

Ejercicios (5)

  1. Simplifica 5x + 3x − 2.
  2. Evalúa 3(2y+1) para y=4.
  3. ¿Cuánto vale 7−(2z−3) si z=5?
  4. Simplifica 2a + 4 − a + 3.
  5. Evalúa 4(t−2)+t para t=9.

Distributiva y simplificación propiedades

La propiedad distributiva dice que a(b+c)=ab+ac. Permite quitar paréntesis y también factorizar sacando factor común: ab+ac=a(b+c).

Ejemplo resuelto

Problema: Simplifica 4(x+3)−2(x−1).

  1. Aplica distributiva: 4x+12 − 2x+2.
  2. Combina semejantes: (4x−2x)+(12+2)=2x+14.
  3. Resultado: 2x+14.

Ejercicios (5)

  1. Simplifica 3(y−2)+2(y+5).
  2. Factoriza 6x+12.
  3. Simplifica 5(a+4)−(a−3).
  4. Factoriza 9t−12.
  5. Simplifica 2m−3(m−1).

Ecuaciones de un paso resolver

Resolver una ecuación es encontrar el valor que hace verdadera la igualdad. En ecuaciones de un paso, “deshaces” la operación aplicada a la variable usando la operación inversa.

Ejemplo resuelto

Problema: x + 7 = 15

  1. Resta 7 en ambos lados: x = 15 − 7.
  2. Calcula: x = 8.
  3. Comprueba: 8 + 7 = 15 ✅

Ejercicios (5)

  1. x−5=9
  2. y/3=4
  3. 4z=28
  4. t+12=19
  5. m−9=−2

Coordenadas, patrones y reglas funciones

Un patrón describe cómo cambia una cantidad al variar otra. Se puede escribir con una regla (fórmula). En el plano, un punto se escribe (x,y). Muchas reglas en pre-álgebra son lineales, del tipo y=mx+b.

Ejemplo resuelto

Problema: Una tarifa cobra 3 € por entrada más 2 € por cada hora de uso. Escribe y evalúa la regla para 5 horas.

  1. Coste fijo: 3. Coste variable: 2 por hora h → y=3+2h.
  2. Sustituye h=5 → y=3+2·5=13.
  3. Resultado: 13 €.

Ejercicios (5)

  1. Escribe una regla para “empiezo con 10 y quito 3 por cada día”.
  2. Evalúa y=5+4x para x=3.
  3. Da dos puntos que satisfacen y=2x+1.
  4. Si y=7x, ¿qué ocurre al duplicar x?
  5. Completa la tabla para y=3x: x=1,2,4,7.

ESO — Álgebra elemental con polinomios y ecuaciones

Dominas la manipulación de expresiones, productos notables, factorización, ecuaciones y sistemas. Introduces la recta como función: pendiente e intersección.

Polinomios: suma, resta y producto Productos notables Factorización básica Ecuaciones de primer grado con paréntesis Sistemas lineales 2×2 Funciones lineales: pendiente y ordenada

Polinomios: suma, resta y producto operaciones

Un polinomio es una suma de monomios (coeficiente · variable^exponente entero ≥ 0). Para sumar/restar, combina términos semejantes. Para multiplicar, distribuye término a término y vuelve a combinar.

Ejemplo resuelto

Problema: (3x^2−2x+5) + (x^2+4x−1) y (2x−3)(x+4)

  1. Suma: (3x^2+x^2) + (−2x+4x) + (5−1) = 4x^2 + 2x + 4.
  2. Producto: (2x)(x) + (2x)(4) + (−3)(x) + (−3)(4) = 2x^2 + 8x − 3x − 12 = 2x^2 + 5x − 12.

Ejercicios (5)

  1. Simplifica: (5x^2−x+7) − (2x^2+3x−4).
  2. Multiplica: (x+2)(x+5).
  3. Multiplica: (3x−1)(x−4).
  4. Multiplica: (x+3)^2.
  5. Simplifica: (2x^2+3x) + (x^2−5x+1).

Productos notables patrones

Patrones útiles: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2; (a−b)^2=a^2−2ab+b^2; (a+b)(a−b)=a^2−b^2.

Ejemplo resuelto

Problema: Expande (2x−3)^2 y (3y+1)(3y−1).

  1. (2x−3)^2 = 4x^2 − 12x + 9.
  2. (3y+1)(3y−1) = 9y^2 − 1.

Ejercicios (5)

  1. Expande (x+5)^2.
  2. Expande (4a−2)^2.
  3. Simplifica (2m+3)(2m−3).
  4. Expande (3t+4)^2.
  5. Simplifica (x−7)(x+7).

Factorización básica factor común • trinomio

Empieza por factor común. En trinomios x^2+bx+c, busca dos números que sumen b y multipliquen c.

Ejemplo resuelto

Problema: Factoriza 6x+12 y x^2+5x+6.

  1. 6x+12 = 6(x+2).
  2. x^2+5x+6 → 2 y 3 → (x+2)(x+3).

Ejercicios (5)

  1. Factoriza 8y−12.
  2. Factoriza x^2+7x+10.
  3. Factoriza x^2−x−6.
  4. Factoriza 10a^2+15a.
  5. Factoriza 9t^2−25.

Ecuaciones de primer grado con paréntesis pasos

Estrategia: (1) distributiva, (2) combina, (3) variable a un lado, (4) despeja.

Ejemplo resuelto

Problema: 2(x−3)+x=9.

  1. 2x−6 + x = 9.
  2. 3x−6=9.
  3. 3x=15 → x=5.

Ejercicios (5)

  1. 3(y+2)−y=10
  2. 5−2(t−1)=1
  3. 4m−(m+3)=8
  4. 7(x−1)+x=23
  5. 2(3a−1)=a+8

Sistemas lineales 2×2 sustitución • reducción

Métodos: sustitución y reducción.

Ejemplo resuelto

Problema: { x + y = 7 ; 2x − y = 1 }

  1. Suma → 3x = 8 → x = 8/3.
  2. y = 7 − 8/3 = 13/3.
  3. Sol.: (8/3, 13/3).

Ejercicios (5)

  1. { x + 2y = 10 ; x − y = 1 }
  2. { 3a − b = 5 ; a + b = 7 }
  3. { 2m + n = 9 ; m − n = 1 }
  4. { x − y = 4 ; 2x + y = 11 }
  5. { 3t + 2s = 12 ; t − s = 2 }

Funciones lineales: pendiente y ordenada y=mx+b

Recta: y=mx+b. m pendiente, b intersección en y.

Ejemplo resuelto

Problema: Pasa por (2,3) con m=4.

  1. y−3=4(x−2) → y=4x−5.

Ejercicios (5)

  1. m entre (1,2) y (5,10).
  2. Ecuación con m=−2 y b=1.
  3. Halla b si y=3x+b pasa por (−1,4).
  4. Recta por (0,−2) y (3,4).
  5. y en x=7 para y=−0,5x+6.

Bachillerato — Cuadráticas, fracciones algebraicas e inecuaciones

Ecuaciones de segundo grado, factorización avanzada, inecuaciones, fracciones algebraicas y funciones cuadráticas.

Ecuaciones cuadráticas Factorización por Ruffini Inecuaciones Fracciones algebraicas Radicales y racionalización Función cuadrática

Ecuaciones cuadráticas fórmula general

ax^2+bx+c=0 → x=[−b ± √(b^2−4ac)]/(2a). Δ=b^2−4ac guía el tipo de raíces.

Ejemplo resuelto

  1. 2x^2−x−3=0 → Δ=25 → x=(1±5)/4 → 3/2, −1.

Ejercicios (5)

  1. x^2−5x+6=0
  2. 3x^2+2x−8=0
  3. 4t^2−4t+1=0
  4. 2m^2+7m+3=0
  5. x^2+4x+13=0

Factorización por Ruffini teorema del resto

Ejemplo resuelto

  1. P(x)=x^3−4x^2−x+4, P(1)=0 ⇒ (x−1). Cociente x^2−3x−4=(x−4)(x+1).
  2. Resultado: (x−1)(x−4)(x+1).

Ejercicios (5)

  1. x^3−6x^2+11x−6
  2. 2x^3+x^2−8x−4
  3. x^3+2x^2−x−2
  4. x^3−x^2−4x+4
  5. 3x^3−7x^2−x+3

Inecuaciones intervalos

  1. x^2−5x+6 ≥ 0 → (x−2)(x−3) ≥ 0 → (−∞,2]∪[3,∞).

Ejercicios (5)

  1. 3x−7 < 2x+5
  2. −2y+4 ≥ 6
  3. x^2−x−6 > 0
  4. 2t^2+3t−2 ≤ 0
  5. (x−1)(x+4) < 0

Fracciones algebraicas operar

  1. (x^2−9)/(x^2−x−6) → (x+3)/(x+2), x≠3,−2.
  2. 1/(x+2)+1/(x−1) → (2x+1)/(x^2+x−2).

Ejercicios (5)

  1. (x^2−4)/(x^2+3x+2)
  2. (3x^2+6x)/(9x)
  3. 2/(x−3)+1/(x+3)
  4. (x+1)/x − 2/(x−1)
  5. (x/(x−2))·((x−2)/x^2)

Radicales y racionalización raíces

  1. √50 = 5√2; 3/(√5−1)·(√5+1)/(√5+1)=(3√5+3)/4.

Ejercicios (5)

  1. √72
  2. 5/√3
  3. 2/(√7+2)
  4. √(18x^2)
  5. (√2)/(√2−1)

Función cuadrática forma canónica

  1. y=x^2−4x+1 = (x−2)^2−3 → vértice (2,−3).

Ejercicios (5)

  1. y=x^2+6x+5
  2. y=2x^2−8x+3
  3. vértice de y=−x^2+4x+1
  4. vértice de y=3x^2+12x−7
  5. dirección de y=−2x^2+5x−1

Universidad — Álgebra lineal básica

Matrices, determinantes y sistemas; primera mirada a espacios vectoriales.

Matrices y operaciones Determinante e inversa 2×2 Sistemas Ax=b Espacios vectoriales

Matrices y operaciones suma • producto

  1. A=[[1,2],[0,−1]], B=[[3,0],[4,1]] → AB=[[11,2],[-4,-1]].

Ejercicios (5)

  1. [[2,−1],[3,0]]+[[1,4],[-2,5]]
  2. [[1,0,2],[-1,3,1]]·[[2],[-1],[4]]
  3. ¿Cuándo existe AB?
  4. (A+B)^T para 2×2
  5. Comprueba (AB)^T=B^T A^T

Determinante e inversa 2×2 fórmulas

  1. det⎡2 1; 3 2⎤=1 → inversa ⎡2 −1; −3 2⎤.

Ejercicios (5)

  1. det⎡1 4; 2 5⎤
  2. ¿Es invertible ⎡1 2; 2 4⎤?
  3. inversa de ⎡3 0; 1 2⎤
  4. Resuelve A x = b (2×2)
  5. 2×2 con det=−3

Sistemas Ax=b Gauss

  1. { x+2y+z=4; 2x+3y+z=7; x+y+2z=5 } → (x,y,z)=(12,−3,−2).

Ejercicios (5)

  1. Sistema 2×2 por Gauss
  2. Operaciones elementales
  3. Clasifica un sistema (CD/CI/I)
  4. { 2x−y=1 ; 4x−2y=2 }
  5. Un 3×3 sencillo

Espacios vectoriales (ℝ^2, ℝ^3) base • dimensión

  1. {(1,0),(1,1)} base de ℝ^2: sí, LI y generan todo.

Ejercicios (5)

  1. ¿{(1,2,0),(0,1,1),(1,0,1)} es base?
  2. (2,4) y (−1,−2): LI o LD
  3. (3,5) como combinación de {(1,0),(1,1)}
  4. Base de ⟨(1,1,1),(2,2,2)⟩
  5. dim { (x,y,z): x+y+z=0 }

Máster — Puente hacia álgebra abstracta

Grupos y anillos para entender por qué funcionan las reglas.

Grupos Anillos y homomorfismos

Grupos axiomas

  1. Unicidad del inverso: si a·b=e y a·c=e ⇒ b=c.

Ejercicios (5)

  1. 3 ejemplos de grupos
  2. ¿(ℕ,+) es grupo?
  3. En un grupo, resuelve a·x=b
  4. ¿(ℝ\{0},·) es abeliano?
  5. Ley de cancelación

Anillos y homomorfismos estructura

  1. φ:ℝ[x]→ℝ, φ(P)=P(1) es homomorfismo.

Ejercicios (5)

  1. Otro homomorfismo
  2. Núcleo de φ
  3. ℤ/nℤ como anillo
  4. Ideal propio en ℤ
  5. Dominio de integridad

Doctorado — Curiosidad y problemas abiertos

Rutas de exploración para conectar álgebra con otras áreas.

Anillos noetherianos Esbozo de teoría de Galois

Anillos noetherianos cadenas ascendentes

  1. ℤ es noetheriano: todo ideal (n), cadenas se estabilizan.

Ejercicios (5)

  1. Cadena ascendente en ℤ[x]
  2. ¿ℚ[x] noetheriano?
  3. Ideales que contienen (12)
  4. Subanillos de noetherianos
  5. Idea del teorema de Hilbert

Esbozo de teoría de Galois simetrías

  1. x^5−x−1 irreducible sobre ℚ; grupo puede ser S₅ ⇒ no resoluble por radicales.

Ejercicios (5)

  1. Define grupo de Galois
  2. Ejemplo cíclico (grado 2)
  3. Normal y separable
  4. Aut(ℚ(√2,√3))
  5. Idea de Ruffini–Abel

Más allá de teoremas, la intuición y los ejemplos sostienen el buen álgebra.