Innove La Biblia del Álgebra

Domina el Álgebra Lineal. Desde vectores básicos hasta diagonalización de matrices.

Fundamentos

Geometría Analítica 2D
Concepto

Vectores

Definiciones

Un vector $\vec{v}=(v_x, v_y)$ tiene módulo (longitud) y argumento (ángulo).

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$ $$ \alpha = \arctan(v_y / v_x) $$
Rectas

Ecuaciones de la Recta

Pendiente ($m$)

Indica la inclinación. Si $\vec{v}=(v_x, v_y)$, entonces $m = v_y/v_x$.

Tipos de Ecuaciones

  • Vectorial: $(x,y) = P + \lambda \vec{v}$
  • Paramétrica: $x=p_1+\lambda v_1, y=p_2+\lambda v_2$
  • Continua: $\frac{x-p_1}{v_1} = \frac{y-p_2}{v_2}$
  • General: $Ax + By + C = 0$
  • Explícita: $y = mx + n$
1De 2 Puntos a Recta
$A(1,2), B(3,5)$
Ver Solución
Vector $\vec{AB} = (2, 3)$. Pendiente $m = 3/2$.
Ec. Punto-Pendiente: $y - 2 = \frac{3}{2}(x - 1)$.
General: $3x - 2y + 1 = 0$. $$ 3x - 2y + 1 = 0 $$
2Distancia Puntos
$d(A, B)$
Ver Solución
Es el módulo del vector $\vec{AB}$.
$\sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{4+9}$. $$ \sqrt{13} $$

Bachillerato

Geometría en el Espacio (Selectividad)
Herramientas

Vectores 3D

Producto Escalar ($\cdot$)

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$. Sirve para calcular ángulos y proyecciones.

Producto Vectorial ($\times$)

$\vec{u} \times \vec{v}$ es perpendicular a ambos. Su módulo es el Área del paralelogramo.

Producto Mixto ($[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$)

Determinante de los 3 vectores. Su valor absoluto es el Volumen del paralelepípedo.

Ecuaciones

Rectas y Planos

Recta ($r$)

Determinada por un punto $P$ y un vector $\vec{v}$.

$$ r: \begin{cases} x = p_1 + \lambda v_1 \\ y = p_2 + \lambda v_2 \\ z = p_3 + \lambda v_3 \end{cases} $$

Plano ($\pi$)

Determinado por punto $P$ y dos vectores $\vec{u}, \vec{v}$, o por un punto y un vector normal $\vec{n}$.

$$ \pi: Ax + By + Cz + D = 0 $$

Donde $\vec{n}=(A,B,C)$ es perpendicular al plano.

Análisis

Posiciones Relativas

Se estudian con rangos de matrices $M$ y $M^*$.

Recta y Plano

  • $Rang(M)=2, Rang(M^*)=3$: Paralelos.
  • $Rang(M)=3, Rang(M^*)=3$: Secantes (se cortan en un punto).
  • $Rang(M)=2, Rang(M^*)=2$: Contenida.

Dos Rectas

Pueden cruzarse (skew), cortarse, ser paralelas o coincidentes.

Métrica

Distancias y Simetrías

Distancia Punto-Plano

$$ d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$

Punto Simétrico ($P'$)

Para hallar el simétrico de $P$ respecto a un plano $\pi$:

  1. Hallar recta $r \perp \pi$ que pasa por $P$.
  2. Hallar punto de corte $M = r \cap \pi$.
  3. $M$ es el punto medio de $PP'$. Despejar $P'$.
1Distancia Punto-Recta
$d(P, r)$
Ver Solución
Fórmula del área del paralelogramo:
$$ d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|} $$ $$ \text{Unidades} $$
2Simétrico
$P(1,0,1)$ resp. $x+y+z=0$
Ver Solución
1. Recta normal: $(1,0,1) + \lambda(1,1,1)$.
2. Corte: $(1+\lambda)+\lambda+(1+\lambda)=0 \to 3\lambda+2=0 \to \lambda=-2/3$.
3. $M = (1/3, -2/3, 1/3)$.
4. $P' = 2M - P$. $$ P'(-1/3, -4/3, -1/3) $$

Universidad

Álgebra Lineal Avanzada
Tema 1

Matrices y Sistemas

Operaciones y Propiedades

Producto: No conmutativo ($AB \neq BA$).
Inversa: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
Traspuesta: $(AB)^T = B^T A^T$.

Rango y Determinantes

El rango es el orden del mayor menor no nulo. $|A| \neq 0 \iff \text{Rang}(A)=n$.

Sistemas de Ecuaciones (SEL)

Teorema de Rouché-Frobenius:

  • $Rg(A) \neq Rg(A^*)$: Incompatible (Sin solución).
  • $Rg(A) = Rg(A^*) = n$: Compatible Determinado (Sol. única).
  • $Rg(A) = Rg(A^*) < n$: Compatible Indeterminado (Infinitas sol.).
1Discusión SEL
$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{array}\right)$
Ver Solución
$|A| = 1 - k^2$. Se anula si $k = \pm 1$.
Si $k \neq \pm 1$: $Rg(A)=2=n \to$ SCD.
Si $k=1$: $Rg(A)=1, Rg(A^*)=1 \to$ SCI.
Si $k=-1$: $Rg(A)=1, Rg(A^*)=2 \to$ SI. $$ \text{Discutido} $$
2Inversa Gauss
$(A|I) \to (I|A^{-1})$
Ver Solución
Método de Gauss-Jordan:
1. Escribir matriz ampliada $(A|I)$.
2. Hacer ceros debajo y encima de la diagonal.
3. Convertir diagonal en 1s. $$ A^{-1} \text{ hallada} $$
Tema 2

Espais Vectorials

Independencia Lineal

Un conjunto es L.I. si la única combinación lineal que da $\vec{0}$ es la trivial (todos escalares 0).

Base y Coordenadas

Base: Sistema generador y L.I.
Coordenadas: Escalares únicos $(x_1, ..., x_n)$ tales que $\vec{v} = x_1 \vec{e}_1 + ... + x_n \vec{e}_n$.

Subespacios Vectoriales

Cumplen: $\vec{0} \in S$, cerrado bajo suma y producto por escalar.

$$ \dim(S+T) = \dim(S) + \dim(T) - \dim(S \cap T) $$
Tema 3

Aplicaciones Lineales

Definición y Propiedades

$f(\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}) = \alpha f(\vec{u}) + \beta f(\vec{v})$.

Clasificación

  • Monomorfismo (Inyectiva): $\ker f = \{\vec{0}\}$.
  • Epimorfismo (Exhaustiva): $\text{Im} f = W$.
  • Isomorfismo (Biyectiva): Ambas anteriores.

Teorema del Rango

$$ \dim(V) = \dim(\ker f) + \dim(\text{Im} f) $$
1Clasificar
$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$
Ver Solución
Sea $f(x,y) = (x+y, x-y)$.
$|M_f| = -2 \neq 0$.
Rango = 2 = dim Final = dim Inicial. $$ \text{Isomorfismo} $$
Tema 4

Diagonalización

Autovalores y Autovectores

$\lambda$ es autovalor si $\exists \vec{v} \neq \vec{0}$ tal que $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.

Propiedades: $\sum \lambda_i = \text{Traza}(A)$, $\prod \lambda_i = |A|$.

Condición de Diagonalización

Para cada $\lambda$, debe cumplirse $m_a(\lambda) = m_g(\lambda) = \dim(V_\lambda)$.

Teorema Espectral

Toda matriz real simétrica es diagonalizable ortogonalmente ($Q^{-1} = Q^T$).

1Diagonalizar
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
Ver Solución
1. $|A-\lambda I| = (1-\lambda)(3-\lambda)$. $\lambda = 1, 3$.
2. Autovectores:
$\lambda=1 \to -2x=0 \to (0,1)$.
$\lambda=3 \to -2x=-2y \to (1,1)$. $$ P=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix} $$