ΣAritmética — Teoría por niveles

Primaria — Fundamentos para entender los números

Los números dejan de ser símbolos y pasan a tener significado: qué representan, cómo funciona el sistema decimal y por qué las operaciones hacen exactamente lo que dicen sus nombres: juntar, quitar, repetir y repartir.

¿Qué es un número? Valor posicional Las cuatro operaciones Fracciones y decimales Divisibilidad y primos Estrategias y estimación

¿Qué es un número?

Un número natural es un contador de unidades. Al contar establecemos una correspondencia entre objetos y la secuencia 1,2,3,…; el último número pronunciado es el tamaño del conjunto. Con los números medimos (comparando cuántas veces cabe la unidad en una magnitud) y ordenamos (primer, segundo…). Distinguir cantidad de posición evita errores al resolver problemas.

Ejemplos resueltos (5)

  1. ¿Cuántos lápices hay si contamos 1,2,3,4,5,6?Seis; el último número dicho indica el cardinal del conjunto.
  2. Un bus llega cada 10 minutos. ¿Cuántos llegan en una hora?60÷10=6 buses; medimos tiempo con la unidad “10 minutos”.
  3. Ordena 7º, 5º, 9º de menor a mayor.5º < 7º < 9º; son posiciones, no cantidades para sumar.
  4. ¿Es correcto decir que un número de teléfono “más 3” es mayor?No; el teléfono es un código, no una cantidad aritmética.
  5. ¿Qué significa el cero al contar?Representa ausencia de elementos; es el neutro de la suma.

Valor posicional y base 10

El valor de una cifra depende del lugar que ocupa. En 7 532, el 2 son unidades, el 3 decenas (30), el 5 centenas (500) y el 7 millares (7000). La coma decimal prolonga el patrón hacia la derecha: décimas (0,1), centésimas (0,01)… Esta arquitectura explica los algoritmos de “llevar” y “pedir prestado”.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Descompón 3 406.3×10³ + 4×10² + 0×10¹ + 6×10⁰ = 3000 + 400 + 0 + 6.
  2. ¿Qué vale el 7 en 27,5?7 decenas = 70; el valor depende de la posición.
  3. Redondea 8 749 a centenas.8 700 (porque 49<50) o 8 700; a 8 700 exacto.
  4. Escribe 5,08 como fracción decimal.508/100 = 127/25 tras simplificar.
  5. ¿Cuál es la siguiente unidad tras el millar?Decena de millar (10 000), luego centena de millar (100 000).

Suma, resta, multiplicación y división

Sumar es reunir; restar es quitar o comparar; multiplicar es sumar varias veces la misma cantidad; dividir es repartir o medir cuántas veces cabe un número en otro. La suma y la multiplicación son conmutativas y asociativas; la distributiva conecta ambas.

Ejemplos resueltos (5)

  1. 357 + 286357+286 = (300+50+7)+(200+80+6)=600+130+13=743.
  2. 904 − 587904−587 = (900−500)+(0−80 “pido” 1 centena)+(4−7 “pido” 1 decena) = 317.
  3. 25 × 1625×(10+6)=250+150=400.
  4. 84 ÷ 66 cabe 14 veces en 84; 84÷6=14.
  5. ¿Por qué 3×(a+b)=3a+3b?Porque “tres grupos de a+b” son “tres a” y “tres b”. Distributiva.

Fracciones y decimales

Una fracción a/b representa a partes de un todo dividido en b partes iguales. Fracciones distintas pueden equivaler (1/2 = 2/4). Sumar/restar exige denominador común; multiplicar y dividir se hace componente a componente o con el inverso. Los decimales son fracciones con 10^n en el denominador.

Ejemplos resueltos (5)

  1. 1/3 + 1/61/3=2/6, así que 2/6+1/6=3/6=1/2.
  2. 2/5 × 3/46/20=3/10 tras simplificar entre 2.
  3. (7/8) ÷ (7/2)(7/8)×(2/7)=2/8=1/4.
  4. 0,375 como fracción375/1000=3/8.
  5. ¿Son equivalentes 6/9 y 2/3?Sí, porque 6/9=(6÷3)/(9÷3)=2/3.

Múltiplos, divisores y números primos

Decimos que d|n si existe k con n=d·k. Criterios: divisible por 2 si termina en cifra par; por 5 si termina en 0 o 5; por 3 o 9 si la suma de cifras es múltiplo de 3 o 9. Un primo tiene exactamente dos divisores. Todo entero >1 se factoriza de forma única en primos.

Ejemplos resueltos (5)

  1. ¿153 es múltiplo de 3?Suma de cifras 1+5+3=9, múltiplo de 3 ⇒ sí.
  2. Factoriza 8484=2×2×3×7=2²·3·7.
  3. ¿47 es primo?No tiene divisores hasta √47≈6,8 salvo 1 y 47 ⇒ primo.
  4. Determina todos los divisores de 3636=2²·3² ⇒ divisores=(2+1)(2+1)=9 en total: 1,2,3,4,6,9,12,18,36.
  5. m.c.d.(24,36)24=2³·3, 36=2²·3² ⇒ m.c.d.=2²·3=12.

Estrategias y estimación

Recomponer, usar la distributiva y estimar orden de magnitud acelera y reduce errores. La estimación da una “red de seguridad”: si el resultado final no encaja con el tamaño esperado, revisamos el cálculo.

Ejemplos resueltos (5)

  1. 99 + 37(100−1)+37 = 136.
  2. 25 × 4825×(50−2)=1250−50=1200.
  3. ¿Es razonable que 19×52=988?Sí; 20×50=1000, muy cerca.
  4. Estimación de 398+603+201≈400+600+200=1200; exacto 1202.
  5. Calcular 12×(9+11) mentalmente12×20=240 usando distributiva.

ESO — Consolidación y nuevas herramientas

Se domina el cálculo con fracciones y decimales, se introducen potencias y raíces, porcentajes, m.c.d./m.c.m. y notación científica. El objetivo es precisión, sentido y flexibilidad.

Operar con fracciones Proporcionalidad y porcentajes Potencias, raíces y notación científica m.c.d. y m.c.m. Enteros y reglas de signo Decimales, redondeo y cifras significativas

Operaciones con fracciones

Para sumar/restar, busca denominador común; para multiplicar, numeradores y denominadores se combinan directamente; dividir equivale a multiplicar por el inverso. Simplificar reduce el tamaño de los números y los errores.

Ejemplos resueltos (5)

  1. 3/4 + 2/515/20 + 8/20 = 23/20 = 1 + 3/20.
  2. 5/6 − 1/820/24 − 3/24 = 17/24.
  3. (9/10) × (25/27)Cancelar 9 con 27 ⇒ (1/3); 25/10 = 5/2 ⇒ resultado (5/2)×(1/3)=5/6.
  4. (7/12) ÷ (14/9)(7/12)×(9/14) = (1/2)×(9/12) = 9/24 = 3/8.
  5. Convierte 0,16 periódico a fracciónx=0,1616… ⇒ 100x=16,16… ⇒ 99x=16 ⇒ x=16/99.

Proporcionalidad y porcentajes

Dos magnitudes son directamente proporcionales si su razón es constante. Un porcentaje es una razón por 100. Es clave distinguir bases distintas en subidas y bajadas sucesivas.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Un precio de 80€ sube un 15 %.80×1,15 = 92€.
  2. Sube 20 % y luego baja 20 %.100→120→96: no vuelve a 100 porque la base cambió.
  3. Regla de tres: 5 camisetas cuestan 45€. ¿7 camisetas?Coste unitario 9€ ⇒ 7×9=63€.
  4. IVA 21 % sobre 140€.140×1,21=169,40€.
  5. Descuento del 35 % sobre 260€.260×0,65=169€.

Potencias, raíces y notación científica

La potencia a^n resume multiplicaciones; las reglas a^m·a^n=a^{m+n}, (a^m)^n=a^{mn}, a^{−n}=1/a^n, etc. La raíz es la inversa: √a. La notación científica usa potencias de 10 para escalar.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Simplifica 2^3 · 2^52^{3+5}=2^8=256.
  2. (3^2)^43^{8}=6561.
  3. 27^{1/3}Raíz cúbica de 27 = 3.
  4. 0,00045 en notación científica4,5×10^{−4}.
  5. Multiplica (3×10^5)·(2×10^−3)6×10^{2} = 600.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

El m.c.d. es el mayor divisor común; el m.c.m., el menor múltiplo común. Pueden calcularse con factorización en primos o con el algoritmo de Euclides.

Ejemplos resueltos (5)

  1. m.c.d.(84,126)84=2²·3·7; 126=2·3²·7 ⇒ m.c.d.=2·3·7=42.
  2. m.c.m.(12,18)12=2²·3; 18=2·3² ⇒ m.c.m.=2²·3²=36.
  3. Euclides para (119,34)119=3·34+17; 34=2·17+0 ⇒ m.c.d.=17.
  4. Relación mcd·mcmPara 12 y 18: 6×36 = 432 = 12×18.
  5. Simplifica 84/126 con el m.c.d.÷42 ⇒ 2/3.

Enteros y reglas de signo

Los enteros incluyen negativos. Sumar un negativo es moverse a la izquierda en la recta numérica; multiplicar por −1 refleja respecto al 0. “Menos por menos es más” porque revertir el sentido dos veces recupera el positivo.

Ejemplos resueltos (5)

  1. (−8)+135.
  2. 7−(−4)7+4=11.
  3. (−3)×(−5)15.
  4. (−24)÷6−4.
  5. |−12|12 (valor absoluto).

Decimales, redondeo y cifras significativas

Decimales finitos, periódicos e infinitos no periódicos. Redondear consiste en mirar la cifra siguiente; las cifras significativas reflejan la precisión de la medida.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Redondea 3,146 a centésimas3,15.
  2. 0,333… como fracción1/3.
  3. ¿Cuántas cifras significativas tiene 0,02340?4 (2,3,4,0 final).
  4. Trunca 5,987 a una cifra decimal5,9.
  5. ¿Es racional 0,1010010001…?No; no es periódico, por tanto irracional.

Bachillerato — Aritmética avanzada y teoría de números elemental

Se trabaja con congruencias, teoremas de Fermat y Euler, progresiones, logaritmos y una primera mirada criptográfica.

Congruencias Bézout y algoritmo extendido Fermat y Euler Progresiones Exponentes y logaritmos Criptografía

Congruencias y aritmética modular

Dos enteros a y b son congruentes módulo n si a−b es múltiplo de n. Las clases residuales permiten trabajar “con restos” de forma coherente.

Ejemplos resueltos (5)

  1. 38+47 (mod 12)2+11≡1 (mod 12).
  2. 3×17 (mod 5)3×2≡6≡1 (mod 5).
  3. ¿Es 2 invertible mod 8?No; mcd(2,8)≠1.
  4. Inverso de 3 mod 73×5=15≡1 ⇒ 3⁻¹≡5.
  5. Resolver x≡2 (mod 5), x≡3 (mod 7)Solución única mod 35: x=17.

Bézout y algoritmo extendido

El algoritmo extendido computa x,y con ax+by=mcd(a,b). Permite decidir solvencia de congruencias lineales y hallar inversos.

Ejemplos resueltos (5)

  1. mcd(99,78)99=1·78+21; 78=3·21+15; 21=1·15+6; 15=2·6+3; 6=2·3+0 ⇒ mcd=3.
  2. Coeficientes de Bézout para (99,78)3=99−1·78−3(78−1·21)−… ⇒ 3=11·99−14·78.
  3. Inverso de 11 mod 2611·19=209≡1 ⇒ 11⁻¹≡19 (mod 26).
  4. Resolver 14x≡8 (mod 20)mcd(14,20)=2 divide 8 ⇒ soluciones: x≡? ⇒ dividir por 2: 7x≡4 (mod 10) ⇒ x≡? 7≡−3 ⇒ −3x≡4 ⇒ 3x≡−4≡6 ⇒ x≡2 (mod 10). Dos clases: 2 y 7 (mod 10) levantadas a mod 20: x≡2,12.
  5. mcd(240,46) y representaciónmcd=2; 2=240−5·46.

Pequeño teorema de Fermat y teorema de Euler

Para primo p y a no múltiplo de p, a^{p−1}≡1 (mod p). Para n general y a coprimo con n, a^{φ(n)}≡1 (mod n).

Ejemplos resueltos (5)

  1. 7^{100} (mod 5)7≡2 ⇒ 2^{100}≡(2^4)^{25}≡1.
  2. 3^{172} (mod 11)φ(11)=10 ⇒ 3^{170}≡1 ⇒ 3^{172}≡3^2≡9.
  3. φ(36)36=2^2·3^2 ⇒ φ=36(1−1/2)(1−1/3)=12.
  4. Inverso de 7 mod 15 usando Euler7^{φ(15)−1}=7^7 (mod 15) ≡ 13 ⇒ 7⁻¹≡13.
  5. Prueba rápida de no primalidadSi a^{p−1}≢1 (mod p) para algún a, p es compuesto (contrapositiva).

Progresiones aritméticas y geométricas

Modelos fundamentales de crecimiento aditivo y multiplicativo. Sus sumas se obtienen por fórmulas cerradas.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Suma 5+8+11+…+29n=((29−5)/3)+1=9; promedio=(5+29)/2=17 ⇒ suma=9·17=153.
  2. Suma geométrica a=3, r=2, n=63(1−2^6)/(1−2)=3(63)=189.
  3. Término 12 de PA con a1=4, d=7a12=4+11·7=81.
  4. Término 8 de PG con a1=5, r=3a8=5·3^7=5·2187=10 935.
  5. Razón de una PG si a3=18 y a6=486r^3=486/18=27 ⇒ r=3.

Exponentes racionales y logaritmos

a^{m/n} es la raíz n-ésima de a^m (a≥0). Los logaritmos convierten productos en sumas y facilitan estimaciones de órdenes de magnitud.

Ejemplos resueltos (5)

  1. 8^{2/3}(√[3]{8})^2 = 2^2 = 4.
  2. log₁₀(10 000)4.
  3. log₁₀(2·10^7)log₂(2)+7 = 1+7 = 8.
  4. ln(e^{3/2})3/2.
  5. logₐ(xy)logₐx + logₐy (propiedad básica).

Criptografía: idea de RSA

Se eligen primos p,q, se calcula n=pq y φ(n)=(p−1)(q−1). Se escoge e coprimo con φ(n) y se halla d con ed≡1 (mod φ(n)). Cifrar: c≡m^e (mod n). Descifrar: m≡c^d (mod n).

Ejemplos resueltos (5)

  1. p=11, q=13 ⇒ n, φ(n)n=143, φ=120.
  2. Elige e=7. Halla d7d≡1 (mod 120) ⇒ d=103.
  3. Cifra m=99^7 (mod 143) ≡ 48.
  4. Descifra c=4848^{103} (mod 143) ≡ 9 (propiedad de RSA).
  5. ¿Por qué funciona?Porque e·d≡1 (mod φ(n)) y a^{φ(n)}≡1 (mod n) para a coprimo con n.

Universidad — Estructuras, cocientes y teorema chino

Se formaliza el comportamiento de los enteros con el lenguaje de anillos y se estudian los cocientes ℤ/nℤ. El teorema chino del resto y las funciones aritméticas organizan patrones profundos.

ℤ como anillo Ideales y mcd Cocientes y cuerpos finitos Teorema chino del resto Funciones aritméticas

ℤ como anillo conmutativo

Con la suma y el producto usuales, ℤ es un anillo conmutativo con unidad: (ℤ,+) es grupo abeliano, el producto es asociativo y conmutativo, y se distribuye sobre la suma. Este marco explica y generaliza propiedades aritméticas.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Demuestra que (ℤ,+) es abelianoPor definición de suma de enteros: asociativa, conmutativa, neutro 0 y opuesto −a para todo a.
  2. DistributividadPara a(b+c)=ab+ac, se verifica con propiedades del producto de enteros y definición de suma repetida.
  3. ¿Existe inverso multiplicativo para todo a∈ℤ?No; solo ±1.
  4. Unidades en ℤElementos con inverso multiplicativo: 1 y −1.
  5. Cero divisorEn ℤ no hay divisores de cero: si ab=0 ⇒ a=0 o b=0.

Ideales y el mcd

En ℤ todo ideal es principal (forma (d)). El m.c.d. de a y b es el mínimo generador positivo del ideal (a,b) y puede escribirse como combinación lineal: ax+by=d.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Ideal generado por 6 y 15(6,15)=(3); mcd(6,15)=3.
  2. Representa 1 como combinación de 7 y 203·7 − 1·20 = 1 ⇒ 1∈(7,20).
  3. ¿Cuándo (a,b)=(1)?Cuando mcd(a,b)=1 (coprimos).
  4. ¿(4,10)=(2)?Sí; 4ℤ+10ℤ = 2ℤ.
  5. ¿(a)⊂(b)?Sí iff b|a (los generadores se invierten).

Cocientes y cuerpos finitos

ℤ/nℤ se construye identificando enteros que difieren en múltiplos de n. Si n es primo, ℤ/pℤ es cuerpo: todo elemento ≠0 tiene inverso. Si n es compuesto, aparecen divisores de cero.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Inverso de 5 en ℤ/11ℤ5×?≡1 ⇒ 5×9=45≡1 ⇒ 5⁻¹≡9.
  2. Divisor de cero en ℤ/12ℤ3×4≡0 (mod 12) con 3,4≠0 ⇒ hay divisores de cero.
  3. ¿Es ℤ/7ℤ un cuerpo?Sí, 7 primo.
  4. Resuelve 2x≡3 (mod 7)x≡3·2⁻¹≡3·4≡12≡5.
  5. ¿Cuántas clases residuales hay en ℤ/15ℤ?15 clases: 0,1,…,14.

Teorema chino del resto

Para m y k coprimos, el sistema x≡a (mod m), x≡b (mod k) tiene solución única módulo mk. Se construye con coeficientes que anulan uno de los módulos.

Ejemplos resueltos (5)

  1. x≡2 (mod 3), x≡1 (mod 5)Resultado: x≡11 (mod 15).
  2. x≡4 (mod 7), x≡3 (mod 8)Solución: x≡? ⇒ 4 mod 7 ⇒ candidatos 4,11,18,… probando mod 8 ⇒ 11≡3 ⇒ x≡11 (mod 56).
  3. x≡0 (mod 4), x≡1 (mod 9)x≡? ⇒ 9k+1 ≡0 (mod 4) ⇒ 9k≡−1≡3 ⇒ k≡? 9≡1 ⇒ k≡3 ⇒ x=28+1=37 ≡ 37 (mod 36).
  4. ¿Es necesaria la coprimalidad?Sí; si no, puede no haber solución o no ser única.
  5. Construcción explícitaCon M=mk, tomar e₁=M/m, e₂=M/k y sus inversos para combinar: x=a·e₁·e₁⁻¹ + b·e₂·e₂⁻¹.

Funciones aritméticas

d(n) cuenta divisores; σ(n) los suma; φ(n) cuenta coprimos con n. Son multiplicativas cuando a y b son coprimos, lo que permite calcularlas desde la factorización.

Ejemplos resueltos (5)

  1. d(72)72=2^3·3^2 ⇒ d=(3+1)(2+1)=12.
  2. σ(72)(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2)=(15)(13)=195.
  3. φ(72)72(1−1/2)(1−1/3)=72·(1/2)·(2/3)=24.
  4. Multiplicatividad de φ en 8 y 9φ(72)=φ(8)φ(9)=4·6=24.
  5. Conteo de fracciones irreducibles con denominador ≤5Sumar φ(1)+…+φ(5)=1+1+2+2+4=10.

Máster — Teoría analítica y algebraica de números (panorama profesional)

Se combinan análisis complejo (funciones L, cribas) y álgebra (enteros algebraicos, p-ádicos) para responder preguntas finas sobre primos y congruencias.

Zeta de Riemann y distribución de primos

La identidad de Euler ζ(s)=∏_{p}(1−p^{−s})^{−1} traduce factorizar en multiplicar series. El teorema de los números primos afirma π(x)∼x/log x; correcciones dependen de la ubicación de los ceros de ζ(s).

Ejemplos resueltos (5)

  1. Estima cuántos primos ≤10^6x/log x ⇒ 10^6 / log(10^6) ≈ 10^6/13,815 ≈ 72 382.
  2. Producto de Euler para s=2∏_{p}(1−p^{−2})^{−1} = ζ(2) = π^2/6.
  3. Comparar π(10^4) con x/log xx/log x ≈ 10 000/9,21 ≈ 1085; valor real 1229 (mejoran con términos de error).
  4. ¿Por qué importa la parte real 1/2?Controla el término de error en la aproximación de π(x).
  5. Convergencia de ζ(s)La serie ∑ n^{−s} converge si Re(s)>1.

Cribas y métodos de conteo

Las cribas cuentan enteros que evitan divisores de un conjunto. La criba de Selberg combina inclusiones-exclusiones con pesos óptimos para obtener cotas ajustadas.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Cuenta impares ≤N que no son múltiplos de 3≈ N/2 − N/6 = N/3 (estimación gruesa).
  2. Números ≤100 sin factores 2 ni 5Usando inclusión-exclusión: 100−⌊50⌋−⌊20⌋+⌊10⌋=40.
  3. Criba de Eratóstenes hasta 50Eliminar múltiplos de 2,3,5 y 7 deja 15 primos.
  4. Idea de “peso” en una cribaAsignar pesos a condiciones para balancear el error.
  5. ¿Por qué las cribas dan cotas y no exactitud?Porque reemplazan condiciones duras por aproximaciones controladas.

Enteros algebraicos e ideales

En ℤ[√−5] la factorización única falla: 6=2·3=(1+√−5)(1−√−5). Los ideales restauran unicidad a nivel estructural; el número de clase mide la desviación.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Muestra que 6 tiene dos factorizaciones no equivalentes en ℤ[√−5]No hay unidades que transformen 2·3 en (1+√−5)(1−√−5); por tanto no es UFD.
  2. ¿Qué es un ideal primo?Aquel cuyo cociente forma un anillo íntegro.
  3. Ejemplo de ideal en ℤ[√−5](2, 1+√−5).
  4. Interpretación del número de claseTamaño del grupo de clases de ideales.
  5. Relación con formas cuadráticasClases de ideales ↔ clases de formas binarias con mismo discriminante.

p-ádicos y lema de Hensel

La norma p-ádica mide cuántas potencias de p dividen las diferencias. El lema de Hensel “levanta” raíces mod p a raíces mod p^k si se cumple una condición de derivada.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Resuelve x^2≡2 (mod 5)x≡±? 3^2=9≡4; 2 no es cuadrado mod 5 ⇒ sin solución.
  2. Levanta raíz de x^2−2≡0 (mod 7)3^2=9≡2 ⇒ f(3)≡0, f'(x)=2x ≠0 mod 7 ⇒ por Hensel hay raíces en 7^k.
  3. Distancia 5-ádica entre 1 y 26|26−1|₅=|25|₅=5^{−2} (muy “cercanos” p-ádicamente).
  4. Serie geométrica p-ádicaCon |r|ₚ<1, ∑ r^n = 1/(1−r) también en ℚₚ.
  5. Interpretación de congruenciasUna congruencia es igualdad en el anillo cociente; Hensel traslada a límites p-ádicos.

Doctorado — Fronteras de investigación

Formas modulares, funciones L, teoría de Iwasawa y aritmética computacional marcan líneas activas de trabajo.

Formas modulares y funciones L

Las formas modulares transforman con una acción de SL₂(ℤ) y poseen coeficientes de Fourier con significado aritmético; sus funciones L codifican esta información en series y productos ejes de conjeturas profundas.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Producto Euleriano de una LL(f,s)=∏_{p}(1−a_p p^{−s}+ε(p)p^{k−1−2s})^{−1} para una forma de peso k.
  2. Modularidad de curvas elípticasCada curva elíptica sobre ℚ corresponde a una forma modular de peso 2.
  3. Coeficientes τ(n) de RamanujanAparecen en Δ(q)=q∏(1−q^n)^{24} y satisfacen recursiones multiplicativas.
  4. ¿Para qué sirven las funciones L?Relacionan conteos aritméticos con propiedades analíticas (ceros, polos, valores especiales).
  5. Ejemplo numérico sencilloζ(2)=π^2/6; L(χ,s) para un carácter de Dirichlet alterna signos en la serie.

Conjeturas profundas

Conectan análisis y álgebra: Birch–Swinnerton-Dyer (BSD), Bloch–Kato, Riemann generalizada, etc. Proveen predicciones precisas sobre rangos, reguladores y números de clase.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Enunciado de BSD (esquema)El rango del grupo de puntos racionales de una curva elíptica coincide con el orden de anulación de L(E,s) en s=1.
  2. Predicción de Riemann para π(x)Mejora el error de x/log x a ≈O(x^{1/2} log x).
  3. Número de claseBSD y Stark relacionan valores especiales de L con números de clase.
  4. MotivosBloch–Kato conecta valores de L con grupos de cohomología.
  5. Verificación numéricaPequeños casos de L(E,1)=0 correlacionan con presencia de puntos de orden infinito.

Teoría de Iwasawa

Estudia cómo crecen invariantes aritméticos en torres ciclotómicas; parámetros (λ, μ, ν) controlan el crecimiento de números de clase o rangos de curvas.

Ejemplos resueltos (5)

  1. Torre ciclotómica de ℚℚ⊂ℚ(ζ_{p})⊂ℚ(ζ_{p^2})⊂… con Galois isomorfo a ℤₚ^×.
  2. Crecimiento del número de claseGeneralmente del tipo p^{λn+μp^n+ν} en el nivel n.
  3. Medida p-ádicaPermite interpolar valores de L en familias.
  4. Kummer y p-regularidadVincula Bernoulli con divisibilidad por p y anula μ en ciertos casos.
  5. L-funciones p-ádicasExtienden L a un entorno p-ádico con propiedades analíticas.

Aritmética computacional y cripto poscuántica

Integra primalidad eficiente, factorización y nuevas familias criptográficas resistentes a cuántica (retículas, códigos, isogenias).

Ejemplos resueltos (5)

  1. Primalidad AKSDecide primalidad en tiempo polinómico sin aleatoriedad.
  2. Criba número-campoMétodo práctico más rápido para factorizar enteros grandes clásicos.
  3. ECM (curvas elípticas)Eficaz para números con factores medianos.
  4. Retículas (LWE)Seguridad basada en problemas de aproximación en retículas de alta dimensión.
  5. IsogeniasBasadas en grafos de isogenias entre curvas; candidatas poscuánticas.