Centro de Masas (CM)
Es el punto geométrico que se comporta como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en él. Simplifica la dinámica de sistemas complejos.
1.1 Definición Vectorial
Para un sistema discreto de partículas:
$$ \vec{R}_{CM} = \frac{\sum_{i} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i} m_i} = \frac{1}{M} (m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + \dots) $$
Si derivamos respecto al tiempo, obtenemos la Velocidad del CM:
$$ \vec{V}_{CM} = \frac{\sum m_i \vec{v}_i}{M} = \frac{\vec{P}_{total}}{M} $$
1.2 Dinámica del CM
El CM se mueve como una partícula de masa $M$ sometida a la suma de todas las fuerzas EXTERNAS. Las fuerzas internas se anulan entre sí (Acción-Reacción).
$$ \sum \vec{F}_{ext} = M \cdot \vec{A}_{CM} $$
Consecuencia: Si no hay fuerzas externas ($\sum \vec{F}_{ext} = 0$), el CM no acelera ($\vec{V}_{CM} = \text{cte}$).
Conservación del Momento Lineal ($\vec{P}$)
2.1 Teorema de Conservación
Si la resultante de las fuerzas externas es nula, el momento lineal total del sistema permanece constante.
$$ \text{Si } \sum \vec{F}_{ext} = 0 \Rightarrow \frac{d\vec{P}}{dt} = 0 \Rightarrow \vec{P} = \text{cte} $$
$$ \vec{P}_{antes} = \vec{P}_{después} $$
Aplicaciones Comunes
- Choques y Colisiones: Las fuerzas de impacto son internas.
- Explosiones: Las fuerzas químicas son internas.
- Propulsión a chorro: Expulsión de masa.
2.2 Impulso Mecánico ($\vec{I}$)
Si actúan fuerzas externas durante un tiempo $\Delta t$, el momento cambia:
$$ \vec{I} = \int \vec{F} dt = \Delta \vec{P} = \vec{P}_f - \vec{P}_0 $$
Colisiones 1D y 2D
En todos los choques se conserva el Momento Lineal ($\vec{P}$). Lo que diferencia los tipos es la Energía Cinética ($E_k$).
3.1 Coeficiente de Restitución ($e$)
Mide la elasticidad del choque (0 a 1). Se define por las velocidades relativas:
$$ e = - \frac{v_{2f} - v_{1f}}{v_{2i} - v_{1i}} $$
| Tipo | Coeficiente ($e$) | Energía Cinética | Momento ($\vec{P}$) |
|---|---|---|---|
| Elástico | $e = 1$ | Se conserva | Se conserva |
| Inelástico | $0 < e < 1$ | Se pierde | Se conserva |
| Plástico | $e = 0$ | Máxima pérdida (Se unen) | Se conserva |
3.2 Choque Elástico 1D (Fórmulas)
Resolviendo el sistema de conservación de $P$ y $E_k$:
$$ v_{1f} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i} + \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2i} $$
$$ v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i} + \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_{2i} $$
Batería de 30 Problemas (Cálculo y Razonamiento)
Ejercicios desde nivel Bachillerato hasta Física Universitaria.
EBAU Cálculo CM: Tres masas puntuales en el plano XY. $m_1=1kg$ en (0,0), $m_2=2kg$ en (2,0) y $m_3=3kg$ en (0,4). Halle el CM.
1. Masa Total $M = 1+2+3 = 6$ kg.
2. Coordenada X: $X_{CM} = \frac{1(0) + 2(2) + 3(0)}{6} = \frac{4}{6} = 0.67$ m.
3. Coordenada Y: $Y_{CM} = \frac{1(0) + 2(0) + 3(4)}{6} = \frac{12}{6} = 2$ m.
CM = (0.67, 2) m
HARD Hombre en la Barca: Un hombre de 80 kg está en un extremo de una barca de 40 kg y 4 m de largo (en reposo). El hombre camina al otro extremo. ¿Cuánto se mueve la barca respecto al agua?
1. No hay fuerzas externas horizontales $\Rightarrow$ El CM no se mueve ($\Delta X_{CM} = 0$).
2. $m_h \Delta x_h + m_b \Delta x_b = 0$.
3. Si la barca se mueve $d$, el hombre se mueve $4-d$ (hacia el otro lado). Ojo signos.
4. Desplazamiento hombre respecto tierra: $\Delta x_h = 4 - d$. Desplazamiento barca: $\Delta x_b = -d$.
5. $80(4-d) + 40(-d) = 0 \Rightarrow 320 - 80d - 40d = 0 \Rightarrow 320 = 120d$.
6. $d = 320/120 = 2.67$ m.
Barca retrocede 2.67 m
UNI Proyectil en Vuelo: Un proyectil es lanzado y en la cima de su parábola explota en dos fragmentos iguales. Uno cae verticalmente a velocidad cero. ¿Dónde cae el otro? (Alcance original $R$).
1. La explosión es fuerza interna. El CM sigue la trayectoria parabólica original.
2. Cuando el CM llega al suelo (distancia $R$), los fragmentos también llegan (mismo tiempo caída).
3. Posición CM en el suelo: $X_{CM} = R$.
4. $X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1+m_2}$. Masas iguales $m/2$.
5. Fragmento 1 cae en la mitad (cima): $x_1 = R/2$.
6. $R = \frac{(m/2)(R/2) + (m/2)x_2}{m} = \frac{R/4 + x_2/2}{1} \Rightarrow R = R/4 + x_2/2$.
7. $x_2/2 = 3R/4 \Rightarrow x_2 = 3R/2 = 1.5 R$.
A 1.5 veces el alcance original
EBAU Choque Plástico: Bala de 10 g a 400 m/s impacta en bloque de madera de 2 kg en reposo y se incrusta. Velocidad final del conjunto.
1. Conservación $P$: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f$.
2. $0.01(400) + 0 = (2.01) v_f$.
3. $4 = 2.01 v_f \Rightarrow v_f = 1.99$ m/s.
v ≈ 2 m/s
HARD Choque Elástico: Bola de billar a 2 m/s choca de frente con otra idéntica en reposo. Demuestre las velocidades finales.
1. Masas iguales $m$. $v_{1i}=v$, $v_{2i}=0$.
2. Fórmulas choque elástico: $v_{1f} = \frac{m-m}{2m}v + 0 = 0$.
3. $v_{2f} = \frac{2m}{2m}v + 0 = v$.
4. Resultado: Intercambian velocidades. La primera se para, la segunda sale con $v$.
v1' = 0 ; v2' = 2 m/s
UNI Choque Oblicuo (2D): Bola A (2 kg, 3 m/s eje X) choca con B (2 kg, reposo). Tras el choque, A se mueve a 30º. ¿Dirección de B? (Choque Elástico).
1. Si masas iguales y choque elástico (y B en reposo), las trayectorias finales forman 90º.
2. Ángulo A + Ángulo B = 90º.
3. $\theta_A = 30^\circ \Rightarrow \theta_B = -60^\circ$ (hacia abajo).
4. Para calcular velocidades, usar conservación vectorial de $P$.
Ángulo B = -60º
HARD Explosión 3 Fragmentos: Objeto en reposo explota en 3 trozos iguales. Uno va al Norte a 10 m/s, otro al Este a 10 m/s. ¿Velocidad del tercero?
1. $\vec{P}_{inicial} = 0$. $\vec{P}_{final} = m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 + m\vec{v}_3 = 0$.
2. Cancelamos $m$. $\vec{v}_3 = -(\vec{v}_1 + \vec{v}_2)$.
3. $\vec{v}_1 = 10\hat{j}$, $\vec{v}_2 = 10\hat{i}$.
4. $\vec{v}_3 = -10\hat{i} - 10\hat{j}$.
5. Módulo: $\sqrt{100+100} = 14.14$ m/s. Dirección: Suroeste (225º).
14.1 m/s al SO
EBAU¿Puede el CM estar fuera del objeto?
Sí. Ejemplo: Un anillo o una herradura. El CM está en el hueco.
HARDPéndulo Balístico: Bala $m$ choca bloque $M$. Sube altura $h$. Velocidad bala.
$v = (1 + \frac{M}{m})\sqrt{2gh}$.
UNIChoque perfectamente inelástico. Energía perdida.
Máxima posible conservando el momento. $\Delta E = \frac{1}{2}\mu v_{rel}^2$ (masa reducida).
EBAUPropulsión cohete en vacío.
Funciona por conservación de $P$. Expulsa gases atrás, gana $P$ adelante.
HARDBola rebota en suelo. $h_0=2m, h_f=1.5m$. Impulso suelo.
Calcular vel impacto y rebote con energías. $I = m(v_{reb} - (-v_{imp}))$.
UNICM de un triángulo homogéneo.
En el baricentro (intersección medianas), a 1/3 de la altura desde la base.
EBAUUnidades de Cantidad de Movimiento.
kg·m/s (o N·s).
HARDMetralleta: Dispara $N$ balas/s de masa $m$ a velocidad $v$. Fuerza media.
$F = \frac{dP}{dt} = N \cdot m \cdot v$.
EBAUSi $F_{ext}=0$, ¿se conserva la Energía Cinética?
No necesariamente (ej. choque inelástico). Se conserva el Momento $P$.
UNISistema de masa variable (Gota lluvia cayendo).
La fuerza es $\frac{d(mv)}{dt}$. Si $m$ cambia, afecta a la aceleración.
EBAURetroceso cañón.
$M V + m v = 0 \Rightarrow V = -(m/M)v$.
HARDChoque elástico: Masa $m$ contra pared infinita ($M \to \infty$).
La pared no se mueve. La masa rebota con misma velocidad ($-v$). $e=1$.
EBAUImpulso gráfico F-t.
Área bajo la curva.
UNICM de un semicírculo (alambre).
$y_{CM} = 2R/\pi$.
HARDDos patinadores se empujan. Relación distancias.
$x_1/x_2 = m_2/m_1$ (partiendo del mismo punto, CM quieto).
EBAUCoeficiente restitución $e=0.5$. Altura rebote.
$h_f = e^2 h_0 = 0.25 h_0$.
UNIChoque frontal $m$ con $2m$ (reposo). Transferencia energía.
$v_2 = \frac{2m}{3m}v = \frac{2}{3}v$. $E_{k2} = \frac{8}{9} E_{k0}$. (Transfiere 89%).
HARDCoche choca insecto. ¿Quién siente más fuerza?
Igual fuerza (3ª Ley Newton). El insecto tiene mucha más aceleración (menor masa).
EBAU¿Es $\vec{P}$ relativo al observador?
Sí, depende de la velocidad $\vec{v}$, que depende del sistema de referencia.
UNIExplosión CM: Un cuerpo explota en el aire. Trayectoria CM.
Continúa la parábola original como si nada hubiera pasado (si despreciamos aire).
HARDChoque de trenes (mismo $m, v$). Inelástico.
$P_{tot} = mv - mv = 0$. Se detienen completamente. Toda $E_k$ se disipa.
EBAUAirbag: Física.
Aumenta el tiempo de impacto ($\Delta t$). Para un mismo Impulso ($\Delta P$), reduce la Fuerza media ($F = I/\Delta t$).
UNIVelocidad CM sistema Tierra-Luna.
Orbita alrededor del Sol. El CM está dentro de la Tierra (pero no en el centro).