Conceptos Cero: La base de todo
Antes de usar fórmulas complejas, debemos entender el lenguaje de la física. La cinemática describe cómo se mueven las cosas, sin importar las fuerzas (causas).
1.1 Posición, Trayectoria y Desplazamiento
- Sistema de Referencia: El punto $(0,0)$ desde donde medimos.
- Posición (\(x\) o \(\vec{r}\)): Dónde está el objeto en un instante \(t\).
- Trayectoria: La línea geométrica (dibujo) que recorre el objeto.
- Desplazamiento (\(\Delta x\)): Es la distancia en línea recta desde el inicio hasta el final. Es un vector.
$$ \Delta x = x_{final} - x_{inicial} $$
$$ \Delta t = t_{final} - t_{inicial} $$
1.2 Velocidad: ¿Qué tan rápido cambia la posición?
Distinguimos entre velocidad media (promedio) y velocidad instantánea (velocímetro del coche).
$$ v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_0}{t_f - t_0} $$
Unidades (SI): Metros por segundo (\(m/s\)). Para pasar de \(km/h\) a \(m/s\), divide entre 3.6.
1.3 Aceleración: ¿Qué tan rápido cambia la velocidad?
Si la velocidad cambia (aumenta, disminuye o gira), hay aceleración.
$$ a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_0}{t_f - t_0} $$
Si \(a\) y \(v\) tienen el mismo signo, el coche acelera. Si tienen signos opuestos, frena.
Movimientos en Línea Recta (1D)
2.1 MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme)
La velocidad es constante. No hay aceleración (\(a=0\)).
$$ x(t) = x_0 + v \cdot (t - t_0) $$
2.2 MRUA (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado)
Existe una aceleración constante. La velocidad cambia linealmente con el tiempo.
$$ v(t) = v_0 + a \cdot t $$
$$ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 $$
La Fórmula Útil (Sin tiempo): Úsala cuando no te den el tiempo ni te lo pidan.
$$ v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot \Delta x $$
2.3 Caída Libre y Tiro Vertical
Es un MRUA en el eje vertical (Y). La aceleración es la gravedad terrestre (\(g\)).
$$ a = -g \approx -9.8 \, m/s^2 $$
$$ y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 $$
$$ v(t) = v_{0y} - g t $$
- Si lanzas hacia arriba, \(v_0 > 0\).
- En el punto de altura máxima, \(v = 0\).
Movimiento en el Plano (2D)
3.1 Tiro Parabólico
Compuesto por dos movimientos independientes (Eje X y Eje Y).
Descomposición Inicial
$$ v_{0x} = v_0 \cos \alpha $$
$$ v_{0y} = v_0 \sin \alpha $$
Ecuaciones de Movimiento
| Eje X (MRU) | Eje Y (MRUA - Gravedad) |
|---|---|
| \( a_x = 0 \) | \( a_y = -g \) |
| \( v_x = v_{0x} \) (Constante) | \( v_y = v_{0y} - g t \) |
| \( x = x_0 + v_{0x} t \) | \( y = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 \) |
3.2 Movimiento Circular Uniforme (MCU)
El objeto gira con velocidad angular constante (\(\omega\)). Aunque el módulo de la velocidad no cambie, la dirección sí cambia, por lo que SIEMPRE hay aceleración normal.
$$ \varphi = \varphi_0 + \omega t \quad (\text{Posición angular}) $$
$$ v = \omega \cdot R \quad (\text{Relación lineal-angular}) $$
$$ a_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R \quad (\text{Aceleración Centrípeta}) $$
Cinemática Vectorial y Coordenadas Intrínsecas
En física avanzada, la posición es un vector \(\vec{r}\) y las magnitudes se derivan usando cálculo.
4.1 Definiciones Vectoriales
$$ \vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} $$
$$ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} $$
$$ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} $$
4.2 Componentes Intrínsecas de la Aceleración
La aceleración total \(\vec{a}\) se proyecta sobre la velocidad (tangencial) y perpendicular a ella (normal).
$$ \vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n $$
- Aceleración Tangencial (\(a_t\)): Mide cuánto cambia la rapidez (módulo). $$ a_t = \frac{d|\vec{v}|}{dt} $$
- Aceleración Normal (\(a_n\)): Mide cuánto gira la trayectoria. $$ a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R} = \sqrt{|\vec{a}|^2 - a_t^2} $$
Batería de 30 Problemas (Selectividad/Uni)
Ejercicios resueltos paso a paso con justificación teórica y cálculos matemáticos.
EBAU El Pozo y el Sonido: Se deja caer una piedra en un pozo profundo. El sonido del chapoteo se escucha 3 segundos después de soltarla. Si \(v_{sonido} = 340\) m/s, calcula la profundidad del pozo.
1. Dos movimientos: Caída de piedra (\(t_1\)) y subida del sonido (\(t_2\)). \(t_1 + t_2 = 3\).
2. Profundidad \(h\). Caída: \(h = 4.9 t_1^2\). Sonido: \(h = 340 t_2\).
3. Igualamos \(h\): \(4.9 t_1^2 = 340 (3 - t_1)\).
4. \(4.9 t_1^2 + 340 t_1 - 1020 = 0\). Resolver cuadrática: \(t_1 \approx 2.88\) s.
5. \(h = 4.9(2.88)^2\).
2. Profundidad \(h\). Caída: \(h = 4.9 t_1^2\). Sonido: \(h = 340 t_2\).
3. Igualamos \(h\): \(4.9 t_1^2 = 340 (3 - t_1)\).
4. \(4.9 t_1^2 + 340 t_1 - 1020 = 0\). Resolver cuadrática: \(t_1 \approx 2.88\) s.
5. \(h = 4.9(2.88)^2\).
h ≈ 40.7 m
HARD Persecución Límite: Un peatón corre a \(v_p=6\) m/s hacia un autobús parado a 20 m. Cuando está a esa distancia, el bus arranca con \(a=2\) m/s². ¿Logra cogerlo? Demuéstralo.
1. Ec. Peatón: \(x_p = 6t\). Ec. Bus: \(x_b = 20 + 0.5(2)t^2 = 20 + t^2\).
2. Encuentro: \(x_p = x_b \Rightarrow t^2 - 6t + 20 = 0\).
3. Discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 80 = -44\).
4. No hay solución real. El peatón nunca alcanza al autobús.
2. Encuentro: \(x_p = x_b \Rightarrow t^2 - 6t + 20 = 0\).
3. Discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 80 = -44\).
4. No hay solución real. El peatón nunca alcanza al autobús.
No lo alcanza
EBAU Ascensor: Un perno se desprende del techo de un ascensor (h=3m) que sube a 2 m/s constante. ¿Cuánto tarda en tocar el suelo del ascensor?
1. Método Relativo: El observador dentro del ascensor ve caer el perno con \(v_{0y}=0\) y \(a=-g\).
2. El suelo "no se mueve" para él. Distancia -3m.
3. \(-3 = -4.9 t^2 \Rightarrow t = \sqrt{3/4.9}\).
(Método inercial: \(y_{perno} = 3 + 2t - 4.9t^2\), \(y_{suelo} = 2t\). Igualar da lo mismo).
2. El suelo "no se mueve" para él. Distancia -3m.
3. \(-3 = -4.9 t^2 \Rightarrow t = \sqrt{3/4.9}\).
(Método inercial: \(y_{perno} = 3 + 2t - 4.9t^2\), \(y_{suelo} = 2t\). Igualar da lo mismo).
t = 0.78 s
HARD Choque en Cadena: Dos coches viajan a 30 m/s y 20 m/s separados 50 m. El de atrás frena ($a=-2$) y el de delante acelera ($a=1$). ¿Distancia mínima de acercamiento?
1. Posición relativa \(x_{rel} = x_B - x_A\). Velocidad relativa \(v_{rel} = v_B - v_A\).
2. Minima distancia ocurre cuando \(v_A = v_B\) (velocidad relativa 0).
3. \(30 - 2t = 20 + 1t \Rightarrow 3t = 10 \Rightarrow t = 3.33\) s.
4. Calcular posiciones en \(t=3.33\) y restar.
2. Minima distancia ocurre cuando \(v_A = v_B\) (velocidad relativa 0).
3. \(30 - 2t = 20 + 1t \Rightarrow 3t = 10 \Rightarrow t = 3.33\) s.
4. Calcular posiciones en \(t=3.33\) y restar.
d_min > 0 (No chocan)
UNI Tiro sobre plano inclinado: Se lanza un proyectil con velocidad \(v_0\) horizontalmente desde la cima de una pendiente de ángulo \(\beta\). ¿A qué distancia sobre el plano cae?
1. Ecuaciones: \(x = v_0 t\) ; \(y = -0.5 g t^2\) (origen en cima).
2. Ecuación del plano (recta): \(y = -x \tan\beta\).
3. Intersección: \(-0.5 g t^2 = -(v_0 t) \tan\beta\). Descartar \(t=0\).
4. \(t = \frac{2 v_0 \tan\beta}{g}\). Sustituir en \(x\) y calcular hipotenusa \(d = x / \cos\beta\).
2. Ecuación del plano (recta): \(y = -x \tan\beta\).
3. Intersección: \(-0.5 g t^2 = -(v_0 t) \tan\beta\). Descartar \(t=0\).
4. \(t = \frac{2 v_0 \tan\beta}{g}\). Sustituir en \(x\) y calcular hipotenusa \(d = x / \cos\beta\).
d = (2v₀² tanβ)/(g cosβ)
HARD El Cazador y el Mono: Un cazador apunta directamente a un mono colgado de una rama. En el instante del disparo, el mono se suelta. ¿Le dará?
1. Sí, siempre. Justificación física:
2. Ambos cuerpos están sometidos a la misma aceleración vertical (\(g\)).
3. Sin gravedad, la bala iría recta al mono. Con gravedad, la bala "cae" debajo de la línea de mira exactamente lo mismo que el mono "cae" desde la rama (\(y = -0.5gt^2\)).
4. Se encuentran en el aire (si el suelo está lejos).
2. Ambos cuerpos están sometidos a la misma aceleración vertical (\(g\)).
3. Sin gravedad, la bala iría recta al mono. Con gravedad, la bala "cae" debajo de la línea de mira exactamente lo mismo que el mono "cae" desde la rama (\(y = -0.5gt^2\)).
4. Se encuentran en el aire (si el suelo está lejos).
Sí (colisión asegurada)
EBAU Canasta imposible: Debes encestar a 6 m de distancia y 1 m de altura sobre la salida. Si lanzas a 45º, ¿velocidad inicial?
1. Ecuación trayectoria (sin tiempo): \(y = x \tan\theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}\).
2. Datos: \(y=1, x=6, \theta=45\). \(\tan 45=1, \cos^2 45=0.5\).
3. \(1 = 6(1) - \frac{9.8 (36)}{2 v_0^2 (0.5)} \Rightarrow 1 = 6 - \frac{352.8}{v_0^2}\).
4. \(v_0^2 = 352.8 / 5 = 70.56\).
2. Datos: \(y=1, x=6, \theta=45\). \(\tan 45=1, \cos^2 45=0.5\).
3. \(1 = 6(1) - \frac{9.8 (36)}{2 v_0^2 (0.5)} \Rightarrow 1 = 6 - \frac{352.8}{v_0^2}\).
4. \(v_0^2 = 352.8 / 5 = 70.56\).
v₀ = 8.4 m/s
HARD Alcance vs Altura: Demuestre que si el alcance máximo es igual a la altura máxima (\(X=H\)), el ángulo de disparo debe ser \(\theta = \arctan(4) \approx 76^\circ\).
1. \(H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}\). \(X = \frac{2 v_0^2 \sin\theta \cos\theta}{g}\).
2. Igualar \(H=X\): \(\frac{\sin^2\theta}{2} = 2 \sin\theta \cos\theta\).
3. Simplificar \(\sin\theta\): \(\frac{\sin\theta}{2} = 2 \cos\theta\).
4. \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 4 \Rightarrow \tan\theta = 4\).
2. Igualar \(H=X\): \(\frac{\sin^2\theta}{2} = 2 \sin\theta \cos\theta\).
3. Simplificar \(\sin\theta\): \(\frac{\sin\theta}{2} = 2 \cos\theta\).
4. \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 4 \Rightarrow \tan\theta = 4\).
Demostrado
UNI Radio de Curvatura: Una partícula se mueve según \(\vec{r} = t \hat{i} + t^2 \hat{j}\). Calcule el radio de curvatura en el origen (\(t=0\)).
1. \(\vec{v} = 1\hat{i} + 2t\hat{j}\). En \(t=0\), \(\vec{v} = \hat{i}\) (\(v=1\)).
2. \(\vec{a} = 2\hat{j}\) (Constante).
3. En \(t=0\), \(\vec{v}\) es horizontal y \(\vec{a}\) es vertical. Son perpendiculares.
4. Por tanto, toda la aceleración es normal. \(a_n = |\vec{a}| = 2\).
5. \(R = v^2 / a_n = 1^2 / 2\).
2. \(\vec{a} = 2\hat{j}\) (Constante).
3. En \(t=0\), \(\vec{v}\) es horizontal y \(\vec{a}\) es vertical. Son perpendiculares.
4. Por tanto, toda la aceleración es normal. \(a_n = |\vec{a}| = 2\).
5. \(R = v^2 / a_n = 1^2 / 2\).
R = 0.5 m
UNI Integración Vectorial: La aceleración es \(\vec{a}(t) = -\cos(t)\hat{i} - \sin(t)\hat{j}\). Si parte del reposo en (1,0), halle la ecuación de la trayectoria.
1. Integrar \(\vec{a}\): \(\vec{v} = -\sin t \hat{i} + \cos t \hat{j} + \vec{C}_1\). Como \(v(0)=0 \rightarrow \vec{C}_1 = -\hat{j}\).
2. Integrar \(\vec{v}\): \(\vec{r} = \cos t \hat{i} + (\sin t - t)\hat{j} + \vec{C}_2\).
3. Aplicar \(r(0)=(1,0)\). Trayectoria cicloide.
2. Integrar \(\vec{v}\): \(\vec{r} = \cos t \hat{i} + (\sin t - t)\hat{j} + \vec{C}_2\).
3. Aplicar \(r(0)=(1,0)\). Trayectoria cicloide.
Cicloide
UNI Hodógrafa: Para un tiro parabólico, demuestre que la hodógrafa (curva del vector velocidad) es una línea recta.
1. \(\vec{v}(t) = v_{0x} \hat{i} + (v_{0y} - gt) \hat{j}\).
2. Si dibujamos este vector en el espacio de velocidades (\(v_x, v_y\)):
3. \(v_x = \text{cte}\). \(v_y\) varía linealmente.
4. Es una recta vertical que baja.
2. Si dibujamos este vector en el espacio de velocidades (\(v_x, v_y\)):
3. \(v_x = \text{cte}\). \(v_y\) varía linealmente.
4. Es una recta vertical que baja.
Recta vertical x = v₀x
HARDLancha vs Río: Una lancha (4 m/s) quiere cruzar un río (3 m/s) PERPENDICULARMENTE. ¿Ángulo de proa y velocidad resultante?
Para anular la corriente, \(v_x = 4 \sin\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = \arcsin(0.75)\). \(v_{res} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}\).
UNIAceleración de Coriolis: Explique cualitativamente por qué al disparar un misil al norte desde el ecuador se desvía al este.
Conserva la velocidad tangencial de la Tierra del ecuador, que es mayor que la de latitudes superiores. Se "adelanta".
EBAUFrenado con reacción: Conductor ve obstáculo. Tarda 0.8s en reaccionar. Frena a -5 m/s². Va a 90 km/h (25 m/s). Distancia total.
Reacción (MRU): \(25 \cdot 0.8 = 20\). Frenado: \(25^2 / (2 \cdot 5) = 62.5\). Total: 82.5 m.
HARDGlobo ascendente: Globo sube a 10 m/s. A 40m suelta un lastre. Tiempo en llegar al suelo.
\(y_0=40\). ¡OJO! \(v_0=+10\) (hacia arriba por inercia). \(-40 = 10t - 4.9t^2\). Resolver t.
UNI¿Cuándo \(|\Delta\vec{v}| \neq \Delta|\vec{v}|\)?
Casi siempre. En MCU, la rapidez no cambia (\(\Delta|\vec{v}|=0\)), pero el vector sí cambia (\(|\Delta\vec{v}| \neq 0\)).
HARDGráfica: Si \(x(t)\) es una parábola, ¿cómo es \(v(t)\) y \(a(t)\)?
\(v(t)\) es una recta (pendiente constante). \(a(t)\) es una línea horizontal (constante).
EBAU¿A qué distancia el sonido y la luz de un rayo tienen un desfase de 5s?
Luz instantánea. \(d = v_{son} \cdot t = 340 \cdot 5 = 1700 \text{ m}\).
HARDVelocidad media en una vuelta completa (MCU).
Cero. El desplazamiento total es nulo. (La rapidez media sí es \(v\)).
UNIPunto de inflexión en gráfica x-t. ¿Qué le pasa a la aceleración?
En la inflexión, la concavidad cambia. La aceleración pasa por cero.
EBAUSatélite geoestacionario. ¿Velocidad angular?
Misma que la Tierra. \(2\pi\) rad / 24h.
HARDSalto de longitud: ¿Por qué los atletas mueven los brazos?
Para conservar momento angular y estabilidad, no afecta a la trayectoria del Centro de Masas (parabólica).
UNIDerivada de un vector unitario giratorio \(\hat{u}_r\).
\(\frac{d\hat{u}_r}{dt} = \omega \hat{u}_\theta\). Base de la aceleración centrípeta.
EBAU¿Un objeto puede tener velocidad hacia el Norte y aceleración hacia el Sur?
Sí, un coche yendo al Norte y frenando.
HARDTiro Parabólico simétrico: velocidad en altura máxima.
Mínima, pero no cero. Es igual a \(v_{0x}\).
UNIAceleración tangencial en la cima de una parábola.
Cero. La velocidad es mínima (tangente horizontal), su derivada es nula. Toda la \(g\) es normal.
EBAUConversión compleja: 10 m/s² a km/h².
Multiplicar por \( (10^{-3}) / (1/3600)^2 \). Factor \(12960\).
HARDSi \(x=t\) e \(y=t^2\), ecuación trayectoria.
Sustituir \(t=x\). \(y=x^2\). Es una parábola.
UNICoordenadas Polares: Velocidad radial vs transversal.
\(v_r = \dot{r}\) (cambio distancia), \(v_\theta = r\dot{\theta}\) (giro).
HARDGotas de lluvia en cristales laterales de un coche.
El ángulo de las trazas indica la relación \(v_{lluvia}/v_{coche}\).
EBAU Un coche viaja a 72 km/h y frena uniformemente deteniéndose en 50 m. Calcular la aceleración y el tiempo de frenado.
1. Conversión: \( v_0 = 72 \, km/h = 20 \, m/s \). \( v_f = 0 \). \( \Delta x = 50 \, m \).
2. Usamos ecuación sin tiempo: \( v_f^2 - v_0^2 = 2 a \Delta x \).
$$ 0^2 - 20^2 = 2 \cdot a \cdot 50 $$ $$ -400 = 100 a \Rightarrow a = -4 \, m/s^2 $$ 3. Tiempo: \( v_f = v_0 + a t \).
$$ 0 = 20 - 4 t \Rightarrow t = 5 \, s $$
2. Usamos ecuación sin tiempo: \( v_f^2 - v_0^2 = 2 a \Delta x \).
$$ 0^2 - 20^2 = 2 \cdot a \cdot 50 $$ $$ -400 = 100 a \Rightarrow a = -4 \, m/s^2 $$ 3. Tiempo: \( v_f = v_0 + a t \).
$$ 0 = 20 - 4 t \Rightarrow t = 5 \, s $$
a = -4 m/s² ; t = 5 s
EBAU Tiro Vertical: Se lanza una pelota hacia arriba a 30 m/s. Calcular altura máxima y tiempo total de vuelo (g=9.8).
1. Condición Altura Máx: \( v = 0 \).
$$ v = v_0 - g t \Rightarrow 0 = 30 - 9.8 t \Rightarrow t_{subida} = 3.06 \, s $$ 2. Altura Máx: $$ y = 30(3.06) - 0.5(9.8)(3.06)^2 = 91.8 - 45.9 = 45.9 \, m $$ 3. Tiempo total (subir + bajar) simetría: \( 2 \times 3.06 \).
$$ v = v_0 - g t \Rightarrow 0 = 30 - 9.8 t \Rightarrow t_{subida} = 3.06 \, s $$ 2. Altura Máx: $$ y = 30(3.06) - 0.5(9.8)(3.06)^2 = 91.8 - 45.9 = 45.9 \, m $$ 3. Tiempo total (subir + bajar) simetría: \( 2 \times 3.06 \).
H = 45.9 m ; t = 6.12 s
HARD Encuentro Vertical: Se deja caer una piedra A desde 50 m. Un segundo más tarde, se lanza otra B desde el suelo hacia arriba a 25 m/s. ¿A qué altura se cruzan?
1. Origen suelo. Ecuación A (sale de 50m, \(t\)): \( y_A = 50 - 4.9 t^2 \).
2. Ecuación B (sale de 0, retardo \(t-1\)): \( y_B = 0 + 25(t-1) - 4.9(t-1)^2 \).
3. Igualar \( y_A = y_B \):
$$ 50 - 4.9t^2 = 25t - 25 - 4.9(t^2 - 2t + 1) $$ $$ 50 = 25t - 25 + 9.8t - 4.9 $$ $$ 79.9 = 34.8 t \Rightarrow t = 2.3 \, s $$ 4. Altura: \( y = 50 - 4.9(2.3)^2 \).
2. Ecuación B (sale de 0, retardo \(t-1\)): \( y_B = 0 + 25(t-1) - 4.9(t-1)^2 \).
3. Igualar \( y_A = y_B \):
$$ 50 - 4.9t^2 = 25t - 25 - 4.9(t^2 - 2t + 1) $$ $$ 50 = 25t - 25 + 9.8t - 4.9 $$ $$ 79.9 = 34.8 t \Rightarrow t = 2.3 \, s $$ 4. Altura: \( y = 50 - 4.9(2.3)^2 \).
y = 24.1 m
EBAU Un bombero a 10m de un edificio lanza agua a 20 m/s con ángulo 60º. ¿A qué altura golpea el agua la pared?
1. \( v_{0x} = 20\cos60 = 10 \). \( v_{0y} = 20\sin60 = 17.32 \).
2. La pared está en \( x = 10 \). Tiempo para llegar:
$$ x = v_{0x} t \Rightarrow 10 = 10 t \Rightarrow t = 1 \, s $$ 3. Altura en \( t=1 \):
$$ y = 17.32(1) - 4.9(1)^2 = 17.32 - 4.9 $$
2. La pared está en \( x = 10 \). Tiempo para llegar:
$$ x = v_{0x} t \Rightarrow 10 = 10 t \Rightarrow t = 1 \, s $$ 3. Altura en \( t=1 \):
$$ y = 17.32(1) - 4.9(1)^2 = 17.32 - 4.9 $$
y = 12.42 m
HARD Tiro Horizontal: Un avión vuela a 300 m/s horizontalmente a altura 2000m. Suelta una carga. ¿Velocidad al impactar el suelo?
1. Tiempo caída: \( 2000 = 4.9 t^2 \Rightarrow t = 20.2 \, s \).
2. Componente X (constante): \( v_x = 300 \, m/s \).
3. Componente Y (acelerada): \( v_y = -g t = -9.8(20.2) = -198 \, m/s \).
4. Velocidad total (Módulo): $$ |v| = \sqrt{300^2 + (-198)^2} = \sqrt{90000 + 39204} $$
2. Componente X (constante): \( v_x = 300 \, m/s \).
3. Componente Y (acelerada): \( v_y = -g t = -9.8(20.2) = -198 \, m/s \).
4. Velocidad total (Módulo): $$ |v| = \sqrt{300^2 + (-198)^2} = \sqrt{90000 + 39204} $$
v = 359.4 m/s
UNI Dada la trayectoria \( \vec{r}(t) = 3t \hat{i} + (4t - 5t^2) \hat{j} \). Calcule la velocidad y aceleración en \( t=0 \). ¿Qué tipo de movimiento es?
1. Derivada 1 (Velocidad): \( \vec{v} = 3 \hat{i} + (4 - 10t) \hat{j} \).
2. En \( t=0 \): \( \vec{v}_0 = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} \) (Módulo 5 m/s).
3. Derivada 2 (Aceleración): \( \vec{a} = 0 \hat{i} - 10 \hat{j} \).
4. La aceleración es constante y solo en eje Y (-10). Es un **Tiro Parabólico**.
2. En \( t=0 \): \( \vec{v}_0 = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} \) (Módulo 5 m/s).
3. Derivada 2 (Aceleración): \( \vec{a} = 0 \hat{i} - 10 \hat{j} \).
4. La aceleración es constante y solo en eje Y (-10). Es un **Tiro Parabólico**.
v₀=(3,4) ; a=(0,-10)
EBAU Un disco de 20 cm de radio gira a 3000 rpm. Calcule la velocidad lineal del borde y la aceleración normal.
1. Convertir \(\omega\): \( 3000 \, rpm \cdot \frac{2\pi}{60} = 100\pi \approx 314 \, rad/s \).
2. Velocidad: \( v = \omega R = 314 \cdot 0.2 = 62.8 \, m/s \).
3. Aceleración normal: $$ a_n = \omega^2 R = (314)^2 \cdot 0.2 $$
2. Velocidad: \( v = \omega R = 314 \cdot 0.2 = 62.8 \, m/s \).
3. Aceleración normal: $$ a_n = \omega^2 R = (314)^2 \cdot 0.2 $$
an = 19719 m/s²
EBAU Persecución con retraso: Un ciclista A sale a 20 km/h. 1 hora después, un ciclista B sale en su persecución a 30 km/h. Pero B se detiene 10 min a reparar un pinchazo. ¿A qué distancia del origen alcanza B a A?
1. Ecs (en km y h). A lleva \( t \) horas. B lleva \( t - 1 \) horas reales, menos 10 min (1/6 h) parados $\rightarrow$ tiempo mov = \( t - 1 - 1/6 = t - 7/6 \).
2. \( x_A = 20t \).
3. \( x_B = 30(t - 7/6) \).
4. Igualamos: \( 20t = 30t - 35 \Rightarrow 10t = 35 \Rightarrow t = 3.5 \text{ h} \).
5. Distancia: \( x = 20(3.5) = 70 \text{ km} \).
2. \( x_A = 20t \).
3. \( x_B = 30(t - 7/6) \).
4. Igualamos: \( 20t = 30t - 35 \Rightarrow 10t = 35 \Rightarrow t = 3.5 \text{ h} \).
5. Distancia: \( x = 20(3.5) = 70 \text{ km} \).
70 km
HARD Encuentro Vertical (Choque): Se lanza una bola A hacia arriba a 20 m/s desde el suelo. Simultáneamente, se deja caer una bola B desde una altura \( H \). Chocan cuando A está en su altura máxima. Calcule \( H \).
1. Tiempo para que A llegue a Hmax ($v=0$): \( 0 = 20 - 9.8t \Rightarrow t = 2.04 \text{ s} \).
2. Altura de encuentro ($y_A$): \( y_A = 20(2.04) - 4.9(2.04)^2 = 20.4 \text{ m} \).
3. Posición de B en ese instante: \( y_B = H - 4.9(2.04)^2 \).
4. Choque: \( y_A = y_B \Rightarrow 20.4 = H - 20.4 \Rightarrow H = 40.8 \text{ m} \).
2. Altura de encuentro ($y_A$): \( y_A = 20(2.04) - 4.9(2.04)^2 = 20.4 \text{ m} \).
3. Posición de B en ese instante: \( y_B = H - 4.9(2.04)^2 \).
4. Choque: \( y_A = y_B \Rightarrow 20.4 = H - 20.4 \Rightarrow H = 40.8 \text{ m} \).
H = 40.8 m
HARD Tiro a Canasta: Un jugador lanza a 2.05 m de altura, a 4.6 m del aro (que está a 3.05 m). Si lanza a 45º, ¿con qué velocidad inicial debe tirar para encestar limpiamente?
1. Ecs trayectoria: \( x = v_0 \cos 45 \cdot t \) ; \( y = 2.05 + v_0 \sin 45 \cdot t - 4.9 t^2 \).
2. Sustituir \( x=4.6 \) en la primera: \( t = \frac{4.6}{v_0 \cdot 0.707} \).
3. Sustituir \( t \) en la segunda con \( y=3.05 \):
\( 3.05 = 2.05 + \tan 45 (4.6) - \frac{4.9 \cdot 4.6^2}{(v_0 \cos 45)^2} \).
4. \( 1 = 4.6 - \frac{103.68}{0.5 v_0^2} \Rightarrow \frac{207.36}{v_0^2} = 3.6 \).
5. \( v_0 = \sqrt{207.36 / 3.6} = \sqrt{57.6} \).
2. Sustituir \( x=4.6 \) en la primera: \( t = \frac{4.6}{v_0 \cdot 0.707} \).
3. Sustituir \( t \) en la segunda con \( y=3.05 \):
\( 3.05 = 2.05 + \tan 45 (4.6) - \frac{4.9 \cdot 4.6^2}{(v_0 \cos 45)^2} \).
4. \( 1 = 4.6 - \frac{103.68}{0.5 v_0^2} \Rightarrow \frac{207.36}{v_0^2} = 3.6 \).
5. \( v_0 = \sqrt{207.36 / 3.6} = \sqrt{57.6} \).
v₀ = 7.59 m/s
UNI Optimización: Un cañón dispara proyectiles con velocidad fija \( v_0 \). Demuestre que el ángulo de tiro que maximiza el área bajo la trayectoria parabólica es \( \theta = 60^\circ \).
1. Área = \( \int_0^R y(x) \, dx \). Siendo \( y(x) = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} \).
2. La integral entre 0 y el alcance \( R \) da \( A(\theta) = \frac{2 v_0^4}{3g^2} \sin^3 \theta \cos \theta \).
3. Derivamos respecto a \( \theta \) e igualamos a 0: \( \frac{dA}{d\theta} = \sin^2 \theta (3 \cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0 \).
4. \( 3 \cos^2 \theta = \sin^2 \theta \Rightarrow \tan^2 \theta = 3 \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{3} \).
5. \( \theta = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ \).
2. La integral entre 0 y el alcance \( R \) da \( A(\theta) = \frac{2 v_0^4}{3g^2} \sin^3 \theta \cos \theta \).
3. Derivamos respecto a \( \theta \) e igualamos a 0: \( \frac{dA}{d\theta} = \sin^2 \theta (3 \cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0 \).
4. \( 3 \cos^2 \theta = \sin^2 \theta \Rightarrow \tan^2 \theta = 3 \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{3} \).
5. \( \theta = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ \).
θ = 60º
UNI Componentes Intrínsecas: Una partícula se mueve según \( \vec{r}(t) = 3t \hat{i} + (4t - 5t^2) \hat{j} \). Determine el instante \( t \) en el que la aceleración tangencial es nula. ¿Qué punto de la trayectoria es?
1. \( \vec{v} = 3\hat{i} + (4-10t)\hat{j} \). \( \vec{a} = -10\hat{j} \).
2. \( a_t = 0 \) implica que \( \vec{v} \perp \vec{a} \) (producto escalar nulo). O que es un máximo/mínimo de velocidad.
3. \( \vec{v} \cdot \vec{a} = 3(0) + (4-10t)(-10) = -40 + 100t = 0 \).
4. \( 100t = 40 \Rightarrow t = 0.4 \text{ s} \).
5. Es el punto de altura máxima del tiro parabólico (velocidad mínima).
2. \( a_t = 0 \) implica que \( \vec{v} \perp \vec{a} \) (producto escalar nulo). O que es un máximo/mínimo de velocidad.
3. \( \vec{v} \cdot \vec{a} = 3(0) + (4-10t)(-10) = -40 + 100t = 0 \).
4. \( 100t = 40 \Rightarrow t = 0.4 \text{ s} \).
5. Es el punto de altura máxima del tiro parabólico (velocidad mínima).
t = 0.4 s (Cima)
HARD Doble Encuentro: Un coche A acelera desde el reposo a 2 m/s². En el mismo instante, un coche B pasa a su lado a velocidad constante de 10 m/s. ¿Cuándo vuelve A a adelantar a B? ¿Qué velocidad lleva A en ese momento?
1. \( x_A = 0.5(2)t^2 = t^2 \). \( x_B = 10t \).
2. Cruzan cuando \( t^2 = 10t \). Soluciones: \( t=0 \) (salida) y \( t=10 \text{ s} \) (encuentro).
3. Velocidad de A en \( t=10 \): \( v_A = a \cdot t = 2 \cdot 10 = 20 \text{ m/s} \).
4. A lleva justo el doble de velocidad que B al alcanzarlo.
2. Cruzan cuando \( t^2 = 10t \). Soluciones: \( t=0 \) (salida) y \( t=10 \text{ s} \) (encuentro).
3. Velocidad de A en \( t=10 \): \( v_A = a \cdot t = 2 \cdot 10 = 20 \text{ m/s} \).
4. A lleva justo el doble de velocidad que B al alcanzarlo.
t = 10 s ; vA = 20 m/s
EBAUGráfica x-t es una parábola cóncava hacia abajo. Significado físico.
Es un MRUA con aceleración negativa (frenado o curva hacia abajo). La velocidad disminuye.
HARDTren entra en túnel: Un tren de 200m a 20 m/s frena a -1 m/s² justo al entrar en un túnel de 100m. ¿Cuánto tiempo tarda en salir completamente?
Debe recorrer 100m (túnel) + 200m (su longitud) = 300m.
\( 300 = 20t - 0.5t^2 \Rightarrow 0.5t^2 - 20t + 300 = 0 \). Sol: \( t=20 \text{ s} \) (y \( t=30 \)). La primera válida.
\( 300 = 20t - 0.5t^2 \Rightarrow 0.5t^2 - 20t + 300 = 0 \). Sol: \( t=20 \text{ s} \) (y \( t=30 \)). La primera válida.
UNIRadio de curvatura en la trayectoria \( y = x^2 \) en el origen.
Usando \( R = [1+(y')^2]^{3/2} / |y''| \). \( y'=2x, y''=2 \). En \( x=0 \), \( R = 1/2 = 0.5 \text{ m} \).
HARDCruce de río con deriva mínima: ¿Qué ángulo debe llevar el bote (4 m/s) para cruzar un río (3 m/s) recorriendo la distancia mínima?
Para distancia mínima (perpendicular), \( v_x \) neta debe ser 0. \( 4 \sin \alpha = 3 \Rightarrow \sin \alpha = 0.75 \Rightarrow \alpha = 48.6^\circ \) contracorriente.
EBAU¿Es posible que la velocidad media sea cero y la rapidez media no?
Sí. En un viaje de ida y vuelta al mismo punto, desplazamiento=0 (v media=0), pero espacio recorrido $\neq$ 0 (rapidez > 0).
HARDCaída con rebote: Se deja caer una pelota desde 5m. Rebota perdiendo el 10% de su velocidad. ¿A qué altura sube?
\( v_{imp} = \sqrt{2gh} = \sqrt{98} \approx 9.9 \). Rebote \( v_0 = 0.9(9.9) = 8.9 \). \( h_{new} = v_0^2/2g = 8.9^2/19.6 \approx 4.05 \text{ m} \).
EBAUFrecuencia de giro necesaria para que \( a_n = g \) en un radio de 10 m (Gravedad artificial).
\( \omega^2 R = g \Rightarrow \omega = \sqrt{9.8/10} \approx 0.99 \text{ rad/s} \). \( f = 0.99/2\pi \approx 0.16 \text{ Hz} \).
UNIAceleración en polares: Término de Coriolis.
En coordenadas polares, \( \vec{a} \) tiene un término \( 2\dot{r}\dot{\theta} \). Es la aceleración de Coriolis.
HARDPiedra lanzada desde globo que sube a 10 m/s. (h=50m).
La piedra sale con \( v_0 = +10 \) m/s (inercia). \( y = 50 + 10t - 4.9t^2 = 0 \). Resolver cuadrática para \( t \).
EBAUInterpretación geométrica de la derivada de la velocidad.
Es la pendiente de la recta tangente a la curva v-t en ese instante (Aceleración instantánea).
UNISi \( \vec{v} \) es constante en módulo pero gira, calcular \( \vec{a} \cdot \vec{v} \).
Si módulo constante, \( a_t=0 \). Como \( a_t \) es la proyección, el producto escalar es 0. Son perpendiculares.
EBAUVector de posición relativo.
\( \vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A \). Posición de B vista desde A.
HARDTiro Parabólico: ¿A qué dos instantes pasa el proyectil por una altura \( h < H_{max} \)?
Al resolver \( h = v_{0y}t - 0.5gt^2 \), obtienes dos soluciones positivas \( t_1, t_2 \). Una subiendo, otra bajando.
EBAUUnidad de velocidad angular en SI.
Radianes por segundo (rad/s). Las rpm no son SI.
HARD¿Cuándo la velocidad media es igual a la instantánea en todo momento?
Solo en el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).
UNIIntegral definida de la velocidad.
\( \int_{t1}^{t2} \vec{v} dt = \vec{r}(t2) - \vec{r}(t1) = \Delta \vec{r} \) (Desplazamiento).
EBAUVelocidad angular de las ruedas de un coche a 100 km/h (R=30cm).
\( v = 27.7 \text{ m/s} \). \( \omega = v/R = 27.7/0.3 = 92.6 \text{ rad/s} \).
HARDAlcance de un salto de longitud (v=9.5 m/s, 45º).
\( R = v^2/g = 9.5^2 / 9.8 \approx 9.2 \text{ m} \). (Récord mundial).
UNIVector aceleración en el MCU en función de la posición.
\( \vec{a} = -\omega^2 \vec{r} \) (Siempre opuesto al radio).
EBAU¿Un cuerpo en caída libre tiene velocidad constante?
No, tiene aceleración constante ($g$). La velocidad aumenta linealmente hacia abajo.
HARDFrenado de emergencia: Percepción 1s + Frenado.
Distancia total = Distancia reacción (MRU durante 1s) + Distancia frenado (MRUA).
EBAUSignificado de pendiente negativa en gráfica x-t.
Velocidad negativa (el cuerpo retrocede hacia el origen).
UNIHodógrafa del movimiento.
La curva que dibuja el extremo del vector velocidad. En tiro parabólico es una recta vertical.
HARDVelocidad relativa de la lluvia si cae vertical a 10 m/s y corres a 5 m/s.
Te golpea con ángulo \( \tan \theta = 5/10 \). Velocidad aparente \( \sqrt{10^2+5^2} = 11.2 \text{ m/s} \).
EBAU¿Puede un cuerpo tener velocidad cero y aceleración distinta de cero?
Sí. En el punto más alto de un tiro vertical, \( v=0 \) pero \( a=-9.8 \).
UNICálculo de \(a_t\) si \( \vec{a}=2\hat{i}+2\hat{j} \) y \( \vec{v}=3\hat{i} \).
Proyección de \( \vec{a} \) sobre \( \vec{v} \). Solo la componente X coincide. \( a_t = 2 \, m/s^2 \).
EBAUSignificado del área bajo la gráfica v-t.
Es el desplazamiento (\( \Delta x \)).
HARDCoche A acelera a 2 m/s², B constante 10 m/s. ¿Cuándo se cruzan?
\( 0.5(2)t^2 = 10t \Rightarrow t^2 = 10t \Rightarrow t=10 \, s \).
EBAUConversión 108 km/h a m/s.
\( 108 / 3.6 = 30 \, m/s \).
UNIRadio de curvatura en la cima de una parábola.
En la cima, \( \vec{v} \) es horizontal. \( \vec{a} \) es perpendicular (-g). \( a_n = g \). \( R = v_x^2 / g \).
EBAUVector unitario de \( \vec{v} = 3\hat{i} - 4\hat{j} \).
Módulo 5. \( \vec{u} = 0.6\hat{i} - 0.8\hat{j} \).
HARDCruzar río corriente 3 m/s con bote 4 m/s perpendicular.
Velocidad total \( \sqrt{4^2+3^2} = 5 \, m/s \). Desviación tangente \( 3/4 \).
EBAUAceleración angular si pasa de 0 a 10 rad/s en 2s.
\( \alpha = 10/2 = 5 \, rad/s^2 \).
EBAUEspacio en el enésimo segundo.
\( x(n) - x(n-1) \).
UNIIntegral de aceleración.
Dada \( a(t) \), \( v(t) = \int a dt + v_0 \).
HARDVelocidad mínima para no caer en un rizo (R).
Condición ingravidez: \( a_n = g \). \( v = \sqrt{Rg} \).
EBAU¿Si \( a_n \) es constante y \( a_t=0 \), qué movimiento es?
MCU (Circular Uniforme).
HARDAltura edificio si se oye impacto a los 3s (sonido despreciable).
\( h = 0.5(9.8)(3^2) = 44.1 \, m \).
EBAUVector desplazamiento entre (1,1) y (4,5).
\( \Delta\vec{r} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \). Módulo 5.
EBAUDefinición de periodo T.
Tiempo en dar una vuelta completa. \( T = 1/f \).
EBAUAceleración de un coche que frena de 20 a 0 en 4s.
\( a = (0-20)/4 = -5 \, m/s^2 \).
UNIProducto vectorial \( \vec{\omega} \times \vec{r} \).
Es el vector velocidad lineal \( \vec{v} \).
HARDÁngulo de tiro para que Hmax = Alcance/4.
\( \tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = 45^\circ \).
EBAUSignificado física de \( dx/dt \).
Velocidad instantánea.
EBAU¿En MRUA la velocidad media es el promedio?
Sí, solo en MRUA: \( v_m = (v_f + v_0)/2 \).
HARDDistancia de frenado si velocidad se duplica.
Como depende de \( v^2 \), la distancia se cuadruplica.
EBAUUnidad de velocidad angular.
Rad/s (Radianes por segundo).