Innove La Biblia de los Complejos

La guía definitiva de los números imaginarios. Desde la unidad $i$ hasta el análisis complejo avanzado.

Fundamentos

Nivel Básico
Concepto

¿Qué es $i$?

La unidad imaginaria $i$ surge para resolver ecuaciones como $x^2 + 1 = 0$. No existe en los reales, pero es fundamental en matemáticas.

$$ i = \sqrt{-1} \quad \implies \quad i^2 = -1 $$
⬇Ejemplos Prácticos
1Potencias de $i$
$i^3, i^4, i^5$
Ver Solución
$i^1 = i$
$i^2 = -1$
$i^3 = i^2 \cdot i = -i$
$i^4 = (i^2)^2 = 1$
Se repiten cada 4. $$ -i, 1, i $$
2Raíz Negativa
$\sqrt{-25}$
Ver Solución
Separamos la parte positiva y la negativa.
$\sqrt{25 \cdot (-1)} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{-1}$. $$ 5i $$
Estructura

Forma Binómica

Un número complejo $z$ tiene una parte real y una imaginaria.

$$ z = a + bi $$

Suma y resta: agrupa reales con reales, imaginarios con imaginarios.

⬇Ejemplos Prácticos
3Suma
$(3 + 2i) + (1 - 5i)$
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Sumamos partes reales: $3+1=4$.
Sumamos partes imaginarias: $2i - 5i = -3i$. $$ 4 - 3i $$
4Multiplicación
$(2+i)(1+3i)$
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Propiedad distributiva:
$2(1) + 2(3i) + i(1) + i(3i)$
$2 + 6i + i + 3i^2$
Como $i^2=-1$, queda $2 + 7i - 3$. $$ -1 + 7i $$

Bachillerato

Plano Complejo
Geometría

Forma Polar

Representamos $z$ por su módulo $r$ (distancia al origen) y su argumento $\alpha$ (ángulo).

$$ r = |z| = \sqrt{a^2+b^2} $$ $$ \alpha = \arctan(b/a) $$ $$ z = r_{\alpha} $$
⬇Ejercicios Resueltos
1A Polar
$z = 1 + i$
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Módulo: $r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Ángulo: $\arctan(1/1) = 45^\circ = \pi/4$. $$ \sqrt{2}_{45^\circ} $$
2A Binómica
$2_{60^\circ}$
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$a = r\cos\alpha = 2\cos 60^\circ = 2(1/2) = 1$.
$b = r\sin\alpha = 2\sin 60^\circ = 2(\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}$. $$ 1 + \sqrt{3}i $$
Operaciones

Producto y Cociente

En forma polar, multiplicar y dividir es mucho más fácil.

$$ r_\alpha \cdot s_\beta = (r\cdot s)_{\alpha+\beta} $$ $$ \frac{r_\alpha}{s_\beta} = (\frac{r}{s})_{\alpha-\beta} $$
⬇Ejercicios Resueltos
3Producto
$3_{20^\circ} \cdot 4_{30^\circ}$
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Multiplicamos módulos: $3 \cdot 4 = 12$.
Sumamos ángulos: $20^\circ + 30^\circ = 50^\circ$. $$ 12_{50^\circ} $$
4Potencia
$(2_{30^\circ})^3$
Ver Solución
Fórmula de Moivre básica.
Módulo: $2^3 = 8$.
Ángulo: $30^\circ \cdot 3 = 90^\circ$. $$ 8_{90^\circ} = 8i $$

Variable Compleja I

Análisis Básico
Fundamental

Fórmula de Euler

La relación más bella de las matemáticas, conectando exponenciales y trigonometría.

$$ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $$

Permite escribir $z = re^{i\theta}$.

⬇Ejercicios Resueltos
1Identidad
$e^{i\pi} + 1$
Ver Solución
Usando Euler con $\theta=\pi$:
$e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0i = -1$.
Entonces $-1 + 1 = 0$. $$ 0 $$
Teorema

Raíces n-ésimas

Todo número complejo tiene $n$ raíces n-ésimas.

$$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1 $$
2Raíces Cúbicas
$\sqrt[3]{1}$
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$1 = 1e^{i0}$. Raíces: $1^{1/3} e^{i(0+2k\pi)/3}$.
$k=0 \to e^0 = 1$.
$k=1 \to e^{i2\pi/3} = -1/2 + i\sqrt{3}/2$.
$k=2 \to e^{i4\pi/3} = -1/2 - i\sqrt{3}/2$. $$ 1, \omega, \omega^2 $$

Variable Compleja II

Funciones Holomorfas
Multivaluada

Logaritmo Complejo

El logaritmo tiene infinitos valores debido a la periodicidad del argumento.

$$ \ln(z) = \ln|z| + i(\arg(z) + 2k\pi) $$

El valor principal ($k=0$) se denota $\text{Ln}(z)$.

1Logaritmo
$\text{Ln}(-1)$
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$|-1| = 1$. $\arg(-1) = \pi$.
$\text{Ln}(-1) = \ln(1) + i\pi = 0 + i\pi$. $$ i\pi $$
2Potencia Compleja
$i^i$
Ver Solución
$i^i = e^{i \text{Ln}(i)}$.
$\text{Ln}(i) = \ln(1) + i(\pi/2) = i\pi/2$.
$e^{i(i\pi/2)} = e^{-\pi/2}$. $$ e^{-\pi/2} \approx 0.207 $$
Derivabilidad

Cauchy-Riemann

Condición necesaria para que $f(z) = u + iv$ sea derivable.

$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $$