Innove Derivadas

Tasas de cambio, pendientes, optimización y gradientes. La colección definitiva de diferenciación.

Fundamentos

Concepto & Potencias
Concepto

¿Qué es derivar?

La derivada mide la rapidez con la que cambia una función. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1} $$

Esta es la Regla de la Potencia, la herramienta más básica y poderosa.

⬇Ejemplos Prácticos
1Potencia Simple
$f(x) = x^5$
Ver Derivada
El exponente $5$ baja a multiplicar y se resta $1$ al exponente. $$ f'(x) = 5x^4 $$
2Constante
$f(x) = 7$
Ver Derivada
Una constante no cambia, su "rapidez de cambio" es cero. La gráfica es una línea horizontal (pendiente 0). $$ f'(x) = 0 $$
3Lineal
$f(x) = 3x - 2$
Ver Derivada
La derivada de $kx$ es $k$. La derivada de la constante $-2$ es $0$. $$ f'(x) = 3 $$
Truco

Reescribir

Antes de derivar, transforma raíces y divisiones en potencias.

  • $\sqrt[n]{x^m} \longrightarrow x^{m/n}$
  • $\frac{1}{x^n} \longrightarrow x^{-n}$

Luego, aplica la regla de la potencia normal: $n x^{n-1}$.

⬇Ejemplos Prácticos
4Raíz Cuadrada
$f(x) = \sqrt{x}$
Ver Solución
Reescribimos: $x^{1/2}$.
Derivamos: $\frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$. $$ \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
5Fracción
$f(x) = \frac{1}{x^3}$
Ver Solución
Reescribimos: $x^{-3}$.
Derivamos: $-3x^{-3-1} = -3x^{-4}$. $$ -\frac{3}{x^4} $$

Reglas de Derivación

La Caja de Herramientas
Operaciones

Producto y Cociente

Cuando las funciones se multiplican o dividen, no puedes derivar por separado. Debes usar estas fórmulas.

$$ (uv)' = u'v + uv' $$ $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$
⬇Ejercicios Resueltos
1Producto
$y = x^2 \sin x$
Ver Solución
$u=x^2 \to u'=2x$
$v=\sin x \to v'=\cos x$
Aplicamos $u'v + uv'$. $$ 2x \sin x + x^2 \cos x $$
2Cociente
$y = \frac{x}{x+1}$
Ver Solución
$u=x \to u'=1$
$v=x+1 \to v'=1$
$\frac{1(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2}$. $$ \frac{1}{(x+1)^2} $$
Vital

Regla de la Cadena

Para funciones compuestas $f(g(x))$. Deriva la de afuera, mantén la de adentro, y multiplica por la derivada de lo de adentro.

$$ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
⬇Ejemplos Prácticos
3Potencia Compuesta
$y = (3x^2 + 1)^5$
Ver Solución
Función externa: $(\dots)^5$. Interna: $3x^2+1$.
1. Deriva externa: $5(3x^2+1)^4$.
2. Deriva interna: $6x$. $$ 30x(3x^2+1)^4 $$
4Exponencial
$y = e^{\cos x}$
Ver Solución
La derivada de $e^u$ es $e^u \cdot u'$.
Derivada de $\cos x$ es $-\sin x$. $$ -\sin x \cdot e^{\cos x} $$
5Logaritmo
$y = \ln(x^2+5)$
Ver Solución
La derivada de $\ln u$ es $\frac{u'}{u}$.
$u = x^2+5 \to u' = 2x$. $$ \frac{2x}{x^2+5} $$
Avanzado

Derivación Implícita

Cuando $y$ no está despejada (ej: $x^2+y^2=1$).

Recuerda: cada vez que derives una $y$, multiplica por $y'$. Luego despeja $y'$.

6Círculo
$x^2 + y^2 = 25$
Ver Solución
$2x + 2y \cdot y' = 0$.
$2y \cdot y' = -2x$.
$y' = \frac{-2x}{2y}$. $$ y' = -\frac{x}{y} $$

Cálculo I

Análisis & Teoremas
Teoría

La Definición

La derivada no es magia, es un límite.

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

Teorema de Rolle

Si $f(a)=f(b)$ en función continua/diferenciable, existe un punto donde $f'(c)=0$.

⬇Aplicación Teórica
1Por Definición
$f(x) = x^2$
Ver Solución
$\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h} = \lim_{h \to 0} (2x+h)$ $$ 2x $$
Límites

Regla de L'Hôpital

Para indeterminaciones del tipo $0/0$ o $\infty/\infty$.

$$ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

¡Cuidado! No es la regla del cociente. Deriva numerador y denominador por separado.

2Límite 0/0
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$
Ver Solución
Al evaluar da $0/0$. Aplicamos L'Hôpital.
Numerador: $(\sin x)' = \cos x$.
Denominador: $(x)' = 1$.
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$. $$ 1 $$
3Infinito
$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$
Ver Solución
$\infty/\infty$. L'Hôpital.
$(\ln x)' = 1/x$. Denominador: 1.
$\lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$. $$ 0 $$
Realidad

Optimización

Encontrar máximos y mínimos.

  • Puntos Críticos: Donde $f'(x) = 0$ o no existe.
  • 2ª Derivada: Si $f''(c) > 0$ es Mínimo. Si $f''(c) < 0$ es Máximo.
4Caja Máxima
$V(x) = 4x^3 - 20x^2 + 25x$
Ver Solución
Derivamos e igualamos a 0:
$V'(x) = 12x^2 - 40x + 25 = 0$.
Resolvemos cuadrática para hallar $x$. Comprobamos con $V''(x)$ para ver cuál es máximo. $$ x = 5/6 \text{ (Max)} $$

Cálculo II

Multivariable
3D

Derivadas Parciales

Si derivas respecto a $x$ ($\frac{\partial f}{\partial x}$), trata a la $y$ como una constante (un número cualquiera).

$$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) $$

El vector Gradiente ($\nabla f$) apunta a la dirección de máximo crecimiento.

⬇Ejercicios Resueltos
1Parcial en X
$f(x,y) = x^2y + y^3$
Ver Solución
Derivamos respecto a $x$. $y$ es constante.
La derivada de $x^2y$ es $2xy$.
La derivada de $y^3$ (constante) es $0$. $$ f_x = 2xy $$
2Parcial en Y
$f(x,y) = x^2y + y^3$
Ver Solución
Derivamos respecto a $y$. $x$ es constante.
La derivada de $x^2y$ es $x^2(1)$.
La derivada de $y^3$ es $3y^2$. $$ f_y = x^2 + 3y^2 $$
3Gradiente
$f(x,y) = x e^y$
Ver Solución
$f_x = 1 \cdot e^y = e^y$.
$f_y = x \cdot e^y = x e^y$. $$ \nabla f = (e^y, x e^y) $$
Árboles

Cadena Multivariable

Si $z = f(x,y)$ y $x(t), y(t)$, sumamos los caminos del diagrama de árbol.

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} $$
4Trayectoria
$z=xy, x=\cos t, y=\sin t$
Ver Solución
$\frac{\partial z}{\partial x} = y, \frac{dx}{dt} = -\sin t$.
$\frac{\partial z}{\partial y} = x, \frac{dy}{dt} = \cos t$.
Suma: $y(-\sin t) + x(\cos t)$.
Sustituyendo: $-\sin^2 t + \cos^2 t$. $$ \cos(2t) $$