ESO — Ecuaciones e Inecuaciones básicas con sentido
Objetivo: dominar los pasos equivalentes, escribir soluciones en notación de intervalos y representar en la recta real. Se trabaja con lineales, con paréntesis y fracciones, con valor absoluto y con cuadráticas sencillas.
1) Principios básicos
Resolver una ecuación es hallar todos los valores de x que hacen verdadera la igualdad. Pasos válidos: sumar/restar la misma expresión, multiplicar/dividir por un número no nulo y sustituir por expresiones equivalentes. Hay que restringir el dominio cuando aparecen denominadores o raíces de índice par.
Ejemplos resueltos (5)
¿Puedo dividir por x?
Solo si x≠0. Alternativa: multiplicar por x y estudiar x=0 aparte.Elevar al cuadrado
Paso no invertible: puede añadir soluciones extrañas; al final, comprobar en la ecuación original.Dominio
En 1/(x−3)=2, excluir x=3 antes de multiplicar.Equivalencia vs. implicación
Si de A pasas a B sin poder volver, B ⇒ A no es cierto; revisa validez.Notación de intervalos
(a,b), [a,b], (−∞,a], etc. Unión ∪ e intersección ∩.
2) Lineales de una variable
Forma general ax+b=c. Se aísla x con pasos equivalentes. Si a=0 y b≠c, no hay solución; si a=0 y b=c, hay infinitas.
Ejemplos resueltos (5)
3x−7=11
x=6.2(x−3)=5x+1
2x−6=5x+1 ⇒ −7=3x ⇒ x=−7/3.5−(2x−1)=3x
5−2x+1=3x ⇒ 6=5x ⇒ x=6/5.x/3 + 1/2 = 5/6
x/3=1/3 ⇒ x=1.0·x=4
Incompatible: ∅.
3) Paréntesis y fracciones
Distribuir con cuidado (propiedad distributiva) y usar un denominador común para limpiar fracciones. Recordar excluir ceros de denominador.
Ejemplos resueltos (5)
(x−2)/3 + (x+1)/2 = 5
Multiplica por 6 ⇒ 2(x−2)+3(x+1)=30 ⇒ 5x−1=30 ⇒ x=31/5.2(3x−4)−(x−5)=0
6x−8−x+5=0 ⇒ 5x−3=0 ⇒ x=3/5.(x+1)/(x−2)=3
x≠2; x+1=3x−6 ⇒ x=7/2.1/(x+1) + 1/(x−1) = 1
MCM=(x+1)(x−1) ⇒ 2x = x²−1 ⇒ x²−2x−1=0 ⇒ x=1±√2, excluir x=±1.Fracción reducible
(2x+4)/(x+2)=2 (si x≠−2); valida tras excluir el punto.
4) Inecuaciones simples y compuestas
Al multiplicar por un negativo, el signo se invierte. Las compuestas se resuelven por pasos y se expresan en intervalos. Representación en la recta con puntos abiertos/cerrados.
Ejemplos resueltos (5)
−2x < 8
Dividir por −2 ⇒ x > −4.1 ≤ 2x+3 < 9
Restar 3 y dividir: −1 ≤ x < 3.(x−1)/(x+2) ≥ 0
Puntos críticos −2 y 1; tabla de signos ⇒ (−∞,−2) ∪ [1,∞).√(x−1) ≥ 2
Dominio x≥1; elevar: x−1≥4 ⇒ x≥5.|x−2| < 3
−3 < x−2 < 3 ⇒ −1 < x < 5.
5) Valor absoluto
|x| mide distancia a 0. Para ecuaciones y desigualdades, se trabaja por casos o usando equivalencias: |x|<a ⇔ −a<x<a; |x|≥a ⇔ x≤−a o x≥a (a≥0).
Ejemplos resueltos (5)
|2x−5|=1
2x−5=±1 ⇒ x=3 o x=2.|x+4|≥7
x≤−11 o x≥3.|x|≤2
[−2,2].|x−1|=|2x+3|
Casos: x−1=2x+3 ⇒ x=−4; x−1=−2x−3 ⇒ 3x=−2 ⇒ x=−2/3.|x−a|<ε
(a−ε,a+ε).
6) Cuadráticas (intro)
ax²+bx+c=0. Si factoriza, raíces por factores; si no, fórmula general. La gráfica y=ax²+bx+c ayuda a entender desigualdades cuadráticas.
Ejemplos resueltos (5)
x²−9=0
(x−3)(x+3)=0 ⇒ x=±3.x²+x−6 ≥ 0
(x+3)(x−2) ⇒ ≥0 en (−∞,−3]∪[2,∞).2x²−5x+2=0
D=25−16=9 ⇒ x=(5±3)/4 ⇒ 2 o 1/2.Vértice de y=x²−6x+5
(3,−4).Completar cuadrado
x²+4x+1=0 ⇒ (x+2)²=3 ⇒ x=−2±√3.
Bachillerato — Técnicas sólidas y resolución sistemática
Se profundiza en racionales, radicales, valor absoluto, cuadráticas y sistemas, y se añaden exponenciales, logaritmos y ecuaciones con parámetros. Para desigualdades, método de intervalos, tablas de signo y equivalencias potentes.
1) Lineales y sistemas 2×2
Igualación, sustitución y reducción. Interpretación geométrica: intersección de dos rectas. Determinante ≠0 ⇒ única solución.
Ejemplos resueltos (5)
{x+2y=7; 3x−y=5}
(x,y)=(17/7, 16/7).Incompatibilidad
{2x−4y=6; x−2y=1} ⇒ rectas paralelas.Infinitas soluciones
{2x−4y=6; 4x−8y=12} ⇒ misma recta.Regla de Cramer
x=det(B_x)/det(A) cuando det(A)≠0.Parámetro
{x+ky=2; 2x+2ky=4} ⇒ si k≠0, infinitas; si k=0, {x=2, 2x=4} ⇒ infinitas; nunca incompatible.
2) Cuadráticas y racionales
Completar cuadrado, fórmula general, discriminante y gráficas. Racionales: factorizar numerador/denominador, excluir ceros, simplificar y usar método de intervalos para desigualdades.
Ejemplos resueltos (5)
(x−1)/(x+2) > 0
Puntos: −2 (excluido) y 1. Signos ⇒ (−∞,−2) ∪ (1,∞).(x+3)/(x−1) ≤ 2
(x+3)−2(x−1) ≤ 0 ⇒ 5−x ≤ 0 ⇒ x ≥ 5 con x≠1. Solución: (5,∞).2x²+bx+8=0 tiene raíz doble
D=b²−64=0 ⇒ b=±8. Raíz doble en x=−b/(2a).Asintotas de y=(x²−1)/(x−1)
Simplifica a y=x+1 con x≠1; hay hueco en x=1.Desigualdad (x²−9)/(x−3) ≥ 0
Simplifica a x+3 con exclusión x≠3 ⇒ solución [−3,∞)\{3}.
3) Exponenciales y logarítmicas
Para a^x: base positiva ≠1. Logaritmos: base >0, ≠1; dominio positivo. Las ecuaciones se resuelven linealizando con logaritmos o igualando exponentes cuando las bases coinciden.
Ejemplos resueltos (5)
2^{x}=16
x=4.log₃(x−1)=2
x−1=9 ⇒ x=10.3^{2x−1}=27
2x−1=3 ⇒ x=2.log(x)+log(x−1)=1 (base 10)
log(x(x−1))=1 ⇒ x(x−1)=10 ⇒ x²−x−10=0 ⇒ x= (1±√41)/2, con dominio x>1 ⇒ x=(1+√41)/2.Desigualdad e^{x} ≥ 5
x ≥ ln 5.
4) Valor absoluto avanzado
Descomposición por casos y equivalencias. Para |ax+b|≤c: −c≤ax+b≤c. Para |f(x)|≤|g(x)|, cuadrar es válido si ambos lados ≥0 y se justifica dominio.
Ejemplos resueltos (5)
|x−3|≤2
1≤x≤5.|2x+1|>3
x<−2 o x>1.|x−1|≤|x+2|
Cuadrar: (x−1)²≤(x+2)² ⇒ −2x+1≤4x+4 ⇒ x≥−1/2.|x|+|x−2|≥2
Siempre cierta (desigualdad triangular).Distancia a un intervalo
|x−a|≤r describe la “bola” (a−r,a+r).
5) Desigualdades polinómicas y racionales
Método general: llevar a un lado, factorizar, puntos críticos y tabla de signos. En racionales, excluir ceros de denominador. En potencias pares, atención a signos.
Ejemplos resueltos (5)
x³−x ≤ 0
x(x−1)(x+1)≤0 ⇒ signos ⇒ [−1,0]∪[1,∞) complement? Tabla ⇒ solución [−1,0]∪[1,∞)? Corrección: producto ≤0 con raíces −1,0,1 y alternancia: [−1,0] ∪ [1,∞) no es correcto para ≤0; revisar: signos: (−∞,−1)[−][+,], etc. Resultado: [−1,0] ∪ [1,∞) es para ≥0; para ≤0 es (−∞,−1] ∪ [0,1].(x−2)(x+1) ≥ 0
(−∞,−1] ∪ [2,∞).(x+3)/(x−1) < 0
(−∞,−3) ∪ (−3,1).(x²−1)/(x+1) ≥ 0
Simplifica a x−1 con x≠−1 ⇒ [1,∞)\{−1}.(x²+1)/(x−2) ≤ 0
Numerador siempre ≥1 ⇒ la fracción ≤0 cuando x−2<0 ⇒ (−∞,2).
6) Parámetros
Un parámetro altera el número de soluciones o la región solución. Se estudian casos según discriminante, dominio o rangos.
Ejemplos resueltos (5)
x²−(k+1)x+k=0
D=(k+1)²−4k=k²−2k+1=(k−1)² ⇒ siempre ≥0; raíz doble si k=1.|x−k|≤2
Intervalo [k−2,k+2].(k−1)x=3
Si k≠1 ⇒ x=3/(k−1); si k=1 ⇒ incompatible.(x−1)/(x−k) ≥ 0
Puntos 1 y k; tabla según orden relativo de 1 y k.log(x−k) definido
x>k.
Universidad — Estructura, convexidad y métodos generales
Pasamos de recetas a principios: existencia/uniquidad, estabilidad y formas vectoriales. Desigualdades = descripción de conjuntos; ecuaciones = problemas de punto fijo, optimización o geometría.
1) AX=b, rango y Rouché–Frobenius
Compatibilidad ⇔ rang(A)=rang([A|b]). Si rang(A)=n hay unicidad; si <n, un afín de dimensión n−rang(A). El espacio nulo N(A) describe las direcciones de no unicidad.
Ejemplos resueltos (5)
Compatibilidad
rang(A)=rang([A|b]) ⇒ hay solución.No unicidad
Si rang(A)=r<n, conjunto solución = x₀ + N(A).Geometría
Hiperplanos que se cortan en un afín.Inversa
A invertible ⇔ rang n ⇔ det ≠ 0.Pseudoinversa
x^⋆ = A^+ b minimiza ||Ax−b|| y tiene mínima norma.
2) Eliminación de Gauss, condicionamiento
Complejidad O(n³); pivoteo parcial para estabilidad. Número de condición κ(A) mide sensibilidad de la solución; valores grandes vuelven el problema mal condicionado.
Ejemplos resueltos (5)
κ(A) grande
Pequeñas perturbaciones en b causan grandes variaciones en x.Pivotar
Intercambiar filas para maximizar el pivote reduce errores.Detección de singularidad
Si aparece pivote 0 insalvable, A es singular.Factorización LU
A=LU acelera múltiples resoluciones con mismas A.Escalado
Normalizar columnas/filas puede mejorar κ(A).
3) Mínimos cuadrados y QR
Resolver min ||Ax−b||². Ecuaciones normales A^TAx=A^Tb; mejor usar QR para estabilidad numérica. La solución proyecta b sobre el subespacio generado por columnas de A.
Ejemplos resueltos (5)
Ajuste lineal
Formar A=[x_i,1], resolver con QR.Residuo ortogonal
r=b−Ax ⟂ Col(A).Regularización Ridge
(A^TA+λI)x=A^Tb.Colinealidad
Si columnas dependientes, infinitas soluciones de mínima norma (usar A^+).Pérdida de precisión en A^TA
Dobla el condicionamiento; por eso se prefiere QR.
4) Fourier–Motzkin y lema de Farkas
Fourier–Motzkin elimina variables de Ax≤b combinando desigualdades; produce una descripción en menos variables (y posibles redundancias). Farkas da certificados de infactibilidad: o existe x con Ax≤b, o existe y≥0 con A^Ty=0 y b^Ty<0.
Ejemplos resueltos (5)
Eliminar x de {x≤2, −x≤1}
Se obtiene intervalo [−1,2] para x; en problemas grandes, se iteran combinaciones.Ax≤b sin solución
Farkas produce y≥0 con A^Ty=0 y b^Ty<0 ⇒ certificado.Redundancia
Al eliminar, pueden aparecer desigualdades redundantes; se simplifica por dominancia.Proyección
Fourier–Motzkin es una proyección del poliedro sobre menos coordenadas.Dualidad geométrica
Conos polares y separación de Hahn–Banach motivan Farkas.
5) Programación lineal (PL) y dualidad
Max/min c^Tx s.a. Ax≤b. Simplex recorre vértices; puntos interiores siguen el centro. Dualidad fuerte: bajo hipótesis suaves, el óptimo primal = óptimo dual, con holgura complementaria.
Ejemplos resueltos (5)
Dual de max c^Tx s.a. Ax≤b, x≥0
min b^Ty s.a. A^Ty ≥ c, y ≥ 0.Certificado de optimalidad
Soluciones primal y dual que satisfacen holgura complementaria.Infeasible vs. Inacotado
Farkas certifica infeasibilidad; un rayo factible con c^Td>0 certifica inacotación.Base
Solución básica factible = intersección de n hiperplanos activos.Puntos interiores
Barreras logarítmicas y trayectoria central.
6) No lineales: Newton, contracciones e implícita
Para f(x)=0, Newton usa derivadas: x_{k+1}=x_k−f/f'. Bisección garantiza convergencia si hay cambio de signo. Banach asegura punto fijo si T es contracción. Implícita: si F(x,y)=0 y ∂F/∂y ≠ 0, existe y(x) local.
Ejemplos resueltos (5)
Bisección en [a,b]
Pasos ≈ log₂((b−a)/ε).Newton en √2
x_{k+1}=0.5(x_k+2/x_k).Contracción
|T(x)−T(y)|≤q|x−y| con q<1 ⇒ único punto fijo.Implícita
F(x,y)=y−x² ⇒ ∂F/∂y=1 ≠ 0 ⇒ y=x² localmente.Inecuaciones convexas
Minimizar f convexa s.a. g_i(x)≤0 resuelto por KKT bajo cualificaciones.
Doctorado — Desigualdades profundas y conic optimization
Panorámica de desigualdades funcionales y optimización en conos: herramientas que dominan la forma de los conjuntos solución y certificar óptimos.
1) Desigualdades clásicas
AM–GM: media aritmética ≥ media geométrica. Cauchy–Schwarz: |⟨x,y⟩| ≤ ||x||·||y||. Jensen caracteriza convexidad: φ(θx+(1−θ)y) ≤ θφ(x)+(1−θ)φ(y). Hölder generaliza Cauchy–Schwarz.
Ejemplos resueltos (5)
AM–GM en dos números
(a+b)/2 ≥ √(ab), igualdad si a=b.Cauchy para series
(∑a_ib_i)² ≤ (∑a_i²)(∑b_i²).Jensen con φ(t)=e^t
e^{θx+(1−θ)y} ≤ θe^x+(1−θ)e^y.Hölder p=q=2
Recupera Cauchy–Schwarz.Optimización con AM–GM
Maximizar x(10−x) en x∈[0,10] ⇒ ≤ ((x+(10−x))/2)²=25 ⇒ máximo 25.
2) Conos convexos y programación semidefinida
Una desigualdad matricial X ≽ 0 (semidefinida positiva) define un cono. SDP: min c•X s.a. A_i•X=b_i, X≽0. SOCP: restricciones de norma ||Ax+b||₂ ≤ c^Tx+d. Ambos generalizan la PL y tienen dualidad fuerte bajo Slater.
Ejemplos resueltos (5)
Condición de convexidad
f es convexa ⇔ su Hessiana H(x) ≽ 0.Reformulación como SDP
Minimizar t con |a^Tx|≤t ⇔ \\(\\begin{bmatrix} t & a^Tx \\\\ x^Ta & tI \\end{bmatrix} ≽ 0\\).SOCP de mínimos cuadrados con cota
min ||Ax−b||₂ s.a. ||x||₂ ≤ R.Dual de SDP
Maximiza ∑ b_i y_i s.a. ∑ y_i A_i ≼ C.Slater
Factibilidad estricta ⇒ dualidad fuerte y no hay brecha dual.
3) Dualidad lagrangiana y KKT
Para min f(x) s.a. g_i(x)≤0, h_j(x)=0, el Lagrangiano L=f+∑λ_i g_i+∑μ_j h_j. KKT: estacionariedad, primal/dual factibles y holgura complementaria. Bajo convexidad y regularidad (Slater), son necesarias y suficientes.
Ejemplos resueltos (5)
Proyección en una bola
min ||x−a||² s.a. ||x||≤R ⇒ solución: x= a·min(1, R/||a||).Box constraints
min f(x) s.a. l≤x≤u ⇒ condiciones KKT dan saturación de componentes.Dual simple
min x² s.a. x≥1 ⇒ L=x²+λ(1−x); KKT ⇒ x=1, λ=2.Complementariedad
λ_i g_i(x)=0 en el óptimo.Convexidad estricta
Garantiza unicidad del óptimo.
4) Eliminación y proyecciones
Fourier–Motzkin como caso lineal; para no lineales se usan subniveles y proyecciones convexas. La proyección de un convexo es convexo; esto preserva estructura en desigualdades proyectadas.
Ejemplos resueltos (5)
Proyección de un poliedro
Eliminar variables mantiene convexidad.Relajaciones
Reemplazar restricciones complicadas por otras más fuertes pero manejables (SDP/SOCP).Chequeo de redundancias
Una desigualdad es redundante si su eliminación no cambia el conjunto.Separación
Si x∉C convexo, existe hiperplano que separa x de C.Interiores
Puntos estrictamente factibles permiten métodos de barrera.
5) Concentración de medida (vistazo)
Desigualdades que acotan la probabilidad de desviaciones grandes: Markov, Chebyshev, Hoeffding. Aunque probabilísticas, son herramientas transversales en análisis e inequaciones.
Ejemplos resueltos (5)
Markov
Para X≥0, P(X≥a) ≤ E[X]/a.Chebyshev
P(|X−μ|≥kσ) ≤ 1/k².Hoeffding
Media de variables acotadas concentra exponencialmente.Aplicación rápida
Controlar error de estimación con pocas cuentas.Relación con convexidad
Funciones convexas y exponentes (Chernoff) conectan con Jensen.