Álgebra Master

30 Ejercicios: De la base a la cima 🚀

Ecuación 1º Grado
Resuelve: $3(x - 2) + 5 = 2(3x + 1) - x$
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Paso 1
Expandir paréntesis: $3x - 6 + 5 = 6x + 2 - x$
Paso 2
Agrupar términos: $3x - 1 = 5x + 2$
Paso 3
Despejar x: $-3 = 2x \to x = -3/2$
Soluciónx = -1.5
Fracciones
Resuelve: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} = \frac{x+1}{4}$
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MCM
Mínimo común múltiplo de 2, 3, 4 es 12.
Multiplicar
$6x - 4(x-1) = 3(x+1)$
$6x - 4x + 4 = 3x + 3$
Resolver
$2x + 4 = 3x + 3 \to 1 = x$
Soluciónx = 1
2º Grado
Halla las raíces de: $x^2 - 5x + 6 = 0$
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Fórmula
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}$$
Operar
$\frac{5 \pm 1}{2}$. Dos soluciones: $(5+1)/2$ y $(5-1)/2$.
Soluciónx = 3, x = 2
2º Grado
Resuelve: $3x^2 - 27 = 0$
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Despejar
$3x^2 = 27 \to x^2 = 9$
Raíz
$x = \pm \sqrt{9}$
Soluciónx = ±3
Sistema 2x2
$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases}$
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Sumar
Método reducción: $(x+2x) + (y-y) = 5+4 \to 3x=9 \to x=3$.
Sustituir
$3 + y = 5 \to y = 2$.
Soluciónx=3, y=2
Irracional
Resuelve: $\sqrt{x + 5} = 3$
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Elevar
Cuadrado a ambos lados: $x + 5 = 9$.
Comprobar
$x = 4$. Verificación: $\sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$. Correcto.
Soluciónx = 4
Bicuadrada
Resuelve: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$
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Cambio Variable
$t = x^2$. Ecuación: $t^2 - 10t + 9 = 0$.
Resolver t
$(t-9)(t-1)=0 \to t=9, t=1$.
Deshacer cambio
$x^2=9 \to x=\pm 3$; $x^2=1 \to x=\pm 1$.
Solución±3, ±1
Problema
El doble de un número más su mitad es 25. ¿Qué número es?
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Plantear
$2x + \frac{x}{2} = 25$.
Operar
Multiplicar por 2: $4x + x = 50 \to 5x = 50$.
Soluciónx = 10
Polinomios
Resuelve sacando factor común: $x^3 - 4x = 0$
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Factorizar
$x(x^2 - 4) = 0 \to x(x-2)(x+2) = 0$.
Igualar a 0
Cada factor da una solución.
Solución0, 2, -2
Geometría
Un rectángulo tiene base $x$ y altura $x-2$. Su perímetro es 20m. Halla $x$.
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Plantear
$2(\text{base}) + 2(\text{altura}) = 20 \to 2x + 2(x-2) = 20$.
Resolver
$2x + 2x - 4 = 20 \to 4x = 24 \to x=6$.
SoluciónBase = 6m
Exponencial
Resuelve: $4^x - 3\cdot 2^x - 4 = 0$
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Cambio Variable
Sea $t = 2^x$, entonces $4^x = (2^2)^x = t^2$.
Ec: $t^2 - 3t - 4 = 0$.
Resolver t
$(t-4)(t+1)=0 \to t=4, t=-1$.
Deshacer
$2^x = 4 \to x=2$.
$2^x = -1$ (Sin solución real).
Soluciónx = 2
Logaritmos
Resuelve: $\log(x+2) + \log(x-1) = 1$
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Propiedades
Suma de logs = log del producto: $\log((x+2)(x-1)) = 1$.
Exponenciar
$(x+2)(x-1) = 10^1 \to x^2 + x - 2 = 10$.
Resolver
$x^2 + x - 12 = 0 \to x=3, x=-4$.
$-4$ no válida (log negativo).
Soluciónx = 3
Sistema Lineal
$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$
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Gauss
$F_2 - F_1 \to -2y = -4 \to y=2$.
Sustituir
En $F_3$: $2x + 2 - z = 1 \to 2x - z = -1$.
En $F_1$: $x + 2 + z = 6 \to x + z = 4$.
Resolver
Sumando: $3x = 3 \to x=1$. Luego $z=3$.
Solución(1, 2, 3)
Irracional
$\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+4} = 6$
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Aislar
$\sqrt{2x-1} = 6 - \sqrt{x+4}$. Elevar al cuadrado.
Simplificar
Queda término con raíz. Aislar de nuevo y elevar.
Resultado
Ec. resultante: $x^2 - 46x + 225 = 0 \to x=5, x=45$.
45 no cumple (da $\approx 16$).
Soluciónx = 5
Inecuación
Resuelve: $\frac{x-2}{x+3} \ge 0$
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Puntos Críticos
Numerador 0 en $x=2$. Denominador 0 en $x=-3$ (Abierto).
Tabla Signos
$(-\infty, -3)$: $(-) / (-) = +$
$(-3, 2)$: $(-) / (+) = -$
$(2, \infty)$: $(+) / (+) = +$
Solución(-∞, -3) U [2, ∞)
Grado Superior
Factoriza y resuelve: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$
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Ruffini
Probamos $x=1$. Resto 0. Polinomio restante: $x^2 - x - 6$.
2º Grado
Resolver $x^2 - x - 6 = 0 \to (x-3)(x+2)$.
Solución1, 3, -2
No Lineal
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{cases}$
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Despejar
$x = y+1$. Sustituir en la primera: $(y+1)^2 + y^2 = 25$.
Ecuación y
$2y^2 + 2y - 24 = 0 \to y^2 + y - 12 = 0$.
$y=3, y=-4$.
Parejas
Si $y=3 \to x=4$. Si $y=-4 \to x=-3$.
Solución(4,3), (-3,-4)
Matrices
Dada $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$. Halla $X$ si $AX = B$.
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Inversa
$A^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$. $X = A^{-1}B$.
Producto
$\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-2\\0&2\end{pmatrix}$
SoluciónX = [[2,-2],[0,2]]
Parámetros
Discute el sistema según $m$: $\begin{cases} mx + y = 1 \\ x + my = 2 \end{cases}$
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Determinante
$\det(A) = m^2 - 1$. Se anula en $m=1, m=-1$.
Casos
Si $m \neq \pm 1$: Compatible Determinado.
Si $m=1$: Comp. Indet ($x+y=1$).
Si $m=-1$: Incompatible ($x-y=1, x-y=-2$).
SoluciónDepende de m
Valor Absoluto
Resuelve: $|2x - 3| = 5$
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Caso 1
$2x - 3 = 5 \to 2x=8 \to x=4$.
Caso 2
$2x - 3 = -5 \to 2x=-2 \to x=-1$.
Solución4, -1
Variable Compleja
Resuelve $z^4 + 16 = 0$ en $\mathbb{C}$.
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Forma Polar
$z^4 = -16 = 16_{\pi}$.
Raíces n-ésimas
Módulo $\sqrt[4]{16}=2$. Argumentos $\frac{\pi + 2k\pi}{4}$ para $k=0,1,2,3$.
Ángulos
$\pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4, 7\pi/4$.
Solución2e^{i(π+2kπ)/4}
Álgebra Lineal
Halla la base del subespacio solución de $\begin{cases} x - y + 2z = 0 \\ 2x + y - z = 0 \end{cases}$
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Reducción
Sumar eqs: $3x + z = 0 \to z = -3x$.
Parametrizar
Si $x=\lambda$, entonces $z=-3\lambda$.
Sustituir en eq 1: $\lambda - y - 6\lambda = 0 \to y = -5\lambda$.
Base{(1, -5, -3)}
Eigenvalues
Halla los valores propios de $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
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Polinomio Característico
$|A - \lambda I| = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$.
Ecuación
$\lambda^2 - 7\lambda + 12 - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$.
Raíces
Factoriza como $(\lambda-5)(\lambda-2)$.
Soluciónλ = 5, λ = 2
Sistemas
Si $\det(A)=5$, halla $x$ en el sistema $A\vec{x} = \vec{b}$ donde $\det(A_x)=10$.
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Regla de Cramer
La regla establece que $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$.
Cálculo
$x = \frac{10}{5} = 2$.
Soluciónx = 2
EDO Lineal
Resuelve: $y'' - 4y' + 4y = 0$
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Eq. Característica
$r^2 - 4r + 4 = 0 \to (r-2)^2 = 0$.
Raíz Doble
$r=2$ con multiplicidad 2.
Base Solución
$e^{2t}$ y $te^{2t}$.
Solucióny = C₁e²ᵗ + C₂te²ᵗ
Espacios Vectoriales
Núcleo de $f(x,y,z) = (x-y, x+z)$. Halla dim(Ker f).
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Definición
Igualar a cero: $x-y=0$ y $x+z=0$.
Resolver
$y=x$ y $z=-x$. Vector genérico $(x, x, -x)$.
Base
Generado por $(1, 1, -1)$. Solo 1 vector.
SoluciónDimensión = 1
Matrices
¿Para qué $k$ NO existe inversa de $\begin{pmatrix} 1 & k \\ k & 4 \end{pmatrix}$?
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Condición
No existe inversa si el determinante es 0.
Determinante
$1(4) - k(k) = 4 - k^2$.
Resolver
$4 - k^2 = 0 \to k = \pm 2$.
Soluciónk = 2, k = -2
EDO 1er Orden
Resuelve: $y' = xy$
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Separar
$\frac{dy}{y} = x dx$.
Integrar
$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$.
Despejar
$y = e^{x^2/2 + C} = K e^{x^2/2}$.
Solucióny = K e^(x²/2)
Teorema
Un sistema $3\times3$ homogéneo tiene solución distinta de la trivial. ¿Rango?
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Teoría
Si tiene soluciones infinitas (no triviales), es Compatible Indeterminado.
Rango
El rango debe ser menor que el número de incógnitas (3).
SoluciónRango < 3
Matrices
¿Es diagonalizable $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$?
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Valores Propios
Triangular superior: $\lambda=1$ (doble).
Multiplicidad Geométrica
Rango de $(A - 1I) = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ es 1.
Dimensión = $2 - 1 = 1$.
Conclusión
Mult. Geométrica (1) $\neq$ Mult. Algebraica (2).
SoluciónNo diagonalizable