Funciones y Análisis

Optimización, Continuidad y Cálculo Diferencial

ESO 01Recta Tangente

Halla la ecuación de la recta tangente a $f(x) = x^2 - 3x$ en el punto $x=2$.

Solución

1. $f(2) = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2$.
2. $f'(x) = 2x - 3 \to f'(2) = 4 - 3 = 1$ (Pendiente).
3. $y - (-2) = 1(x - 2) \to y = x - 4$. $$ y = x - 4 $$

ESO 02Tangente Horizontal

¿En qué puntos la tangente de $f(x) = x^3 - 3x$ es horizontal?

Solución

Horizontal implica $m=0$, es decir $f'(x)=0$.
$f'(x) = 3x^2 - 3$. Igualamos a 0:
$3x^2 - 3 = 0 \to x^2 = 1 \to x = \pm 1$. $$ x=1, x=-1 $$

ESO 03Monotonía

Estudia el crecimiento de $f(x) = x^2 - 4x + 5$.

Solución

$f'(x) = 2x - 4$.
Punto crítico: $2x-4=0 \to x=2$.
Si $x<2$ (ej: 0), $f'<0$ (Decrece).
Si $x>2$ (ej: 3), $f'>0$ (Crece). Decrece $(-\infty, 2)$, Crece $(2, \infty)$

ESO 04Optimización (Números)

Halla dos números cuya suma sea 20 y su producto sea máximo.

Solución

$x + y = 20 \to y = 20 - x$.
Maximizar $P = x \cdot y = x(20-x) = 20x - x^2$.
$P' = 20 - 2x$. Igualamos a 0: $20 = 2x \to x = 10$.
$y = 20 - 10 = 10$. $$ x=10, y=10 $$

ESO 05Optimización (Geometría)

Queremos vallar un jardín rectangular de $200 m^2$. ¿Dimensiones para mínimo perímetro?

Solución

$x \cdot y = 200 \to y = 200/x$.
Perímetro $P = 2x + 2y = 2x + 400/x$.
$P' = 2 - 400/x^2$. Igualar a 0: $2 = 400/x^2 \to x^2=200$.
$x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$. Es un cuadrado. $$ 10\sqrt{2} \times 10\sqrt{2} \text{ m} $$

ESO 06Máximos y Mínimos

Calcula los extremos de $f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x$.

Solución

$f'(x)=x^2-4$. Puntos $x=\pm 2$.
Max en $x=-2$, Min en $x=2$.

ESO 07Velocidad Instantánea

Posición $s(t) = 10t - t^2$. ¿En qué instante la velocidad es 0?

Solución

$v(t)=s'(t)=10-2t$. $10-2t=0 \to t=5s$.

ESO 08Tangente Paralela

Recta tangente a $y=x^2$ paralela a $y=4x-1$.

Solución

$f'(x)=2x$. Pendiente $m=4$. $2x=4 \to x=2$. Punto $(2,4)$.

ESO 09Curvatura Básica

Estudia la concavidad de $f(x)=x^2$.

Solución

$f''(x)=2 > 0$. Siempre cóncava hacia arriba (convexa).

ESO 10Caja sin Tapa

Lámina cuadrada de 12cm. Recortamos esquinas $x$. Volumen máximo.

Solución

$V(x)=x(12-2x)^2$. Derivar y hallar $x=2$.

Ejercicios 11-20: Variaciones de tangentes, polinomios de grado 3, y áreas de rectángulos inscritos.

PAU 01Continuidad y Derivabilidad

Sea $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & x \leq 1 \\ \ln x & x > 1 \end{cases}$.
Halla $a, b$ para que sea continua y derivable en todo $\mathbb{R}$.

Solución

Continuidad en $x=1$:
$1+a+b = \ln 1 = 0 \to a+b=-1$.
Derivabilidad en $x=1$:
$f'(x)_{izq} = 2x+a \to 2(1)+a = 2+a$.
$f'(x)_{der} = 1/x \to 1/1 = 1$.
Igualamos: $2+a=1 \to a=-1$.
Sustituimos: $-1+b=-1 \to b=0$. $$ a=-1, b=0 $$

PAU 02L'Hôpital

Calcula el límite: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$

Solución

Indeterminación $0/0$. Aplicamos L'Hôpital (Derivada num / Derivada den):
$L_1 = \lim \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} \to 0/0$.
Aplicamos L'Hôpital otra vez:
$L_2 = \lim \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} \to 0/0$.
Aplicamos L'Hôpital tercera vez:
$L_3 = \lim \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1+1}{1} = 2$. $$ L = 2 $$

PAU 03Optimización (Alambre)

Un alambre de 10m se divide en dos trozos. Con uno formamos un cuadrado y con el otro un círculo. ¿Dónde cortar para que el área total sea mínima?

Solución

Trozo cuadrado: $x$. Lado = $x/4$. Área = $x^2/16$.
Trozo círculo: $10-x$. Radio $r = \frac{10-x}{2\pi}$. Área = $\pi r^2 = \frac{(10-x)^2}{4\pi}$.
$A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(10-x)^2}{4\pi}$. Derivar e igualar a 0.
$\frac{x}{8} - \frac{10-x}{2\pi} = 0 \to \pi x = 4(10-x) \to x(\pi+4) = 40$. $$ x = \frac{40}{\pi+4} \approx 5.6 \text{ m} $$

PAU 04Teorema de Bolzano

Demuestra que la ecuación $x^3 + x - 1 = 0$ tiene al menos una solución en el intervalo $[0, 1]$.

Solución

Definimos $f(x) = x^3 + x - 1$.
1. Es continua en $[0, 1]$ (polinomio).
2. $f(0) = -1 < 0$.
3. $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$.
Por el T. de Bolzano, existe $c \in (0,1)$ tal que $f(c)=0$.

PAU 05Asíntotas

Halla las asíntotas de $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$.

Solución

Vertical: $x-1=0 \to x=1$.
Horizontal: Grado num > Grado den $\to$ No hay.
Oblicua: $y = mx + n$.
$m = \lim \frac{f(x)}{x} = 1$.
$n = \lim (f(x) - x) = \lim \frac{x^2+1 - x^2 + x}{x-1} = 1$. $$ AV: x=1, \quad AO: y=x+1 $$

PAU 06Recta Normal

Recta normal a $f(x)=x \ln x$ en $x=e$.

Solución

$f'(e)=2$. Pendiente normal $m'=-1/2$. $y-e = -1/2(x-e)$.

PAU 07Área Máxima

Rectángulo inscrito en semicírculo de radio 10. Área máxima.

Solución

Base $2x$, altura $y=\sqrt{100-x^2}$. Max $2x\sqrt{100-x^2}$.

PAU 08Punto Inflexión

Puntos de inflexión de $y = \frac{1}{1+x^2}$.

Solución

$f''(x)=0$. Ocurre en $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

PAU 09Parámetros Extremos

$f(x)=ax^3+bx$. Punto singular en $(1, 2)$. Halla $a, b$.

Solución

$f(1)=2$ y $f'(1)=0$. Sistema: $a+b=2, 3a+b=0$. $a=-1, b=3$.

PAU 10Valor Medio (Rolle)

Aplica Rolle a $f(x)=x^2-4x$ en $[0,4]$.

Solución

$f(0)=f(4)=0$. Derivada $2x-4=0 \to c=2$.

Ejercicios 11-20: Teorema del Valor Medio, Optimización de costes, Estudio completo de racionales.

Gym de Derivadas

Calcula $f'(x)$ sin simplificar al máximo. Pura técnica.

01Potencia

$f(x) = \sqrt[3]{x^2}$

Ver

$f(x)=x^{2/3} \to \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

02Producto

$f(x) = x^2 \cdot \sin x$

Ver

$2x\sin x + x^2\cos x$

03Cociente

$f(x) = \frac{x}{x+1}$

Ver

$\frac{1(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$

04Cadena (Pot)

$f(x) = (3x+1)^5$

Ver

$5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$

05Logaritmo

$f(x) = \ln(x^2+1)$

Ver

$\frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$

06Exponencial

$f(x) = e^{\cos x}$

Ver

$e^{\cos x} \cdot (-\sin x)$

07Trigonométrica

$f(x) = \tan(5x)$

Ver

$(1+\tan^2(5x)) \cdot 5 = \frac{5}{\cos^2(5x)}$

08Cadena Anidada

$f(x) = \sin^3(x^2)$

Ver

$3\sin^2(x^2) \cdot \cos(x^2) \cdot 2x$

09Raíz Compleja

$f(x) = \sqrt{x^2+x}$

Ver

$\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}$

10Arcotangente

$f(x) = \arctan(3x)$

Ver

$\frac{1}{1+(3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1+9x^2}$

11$3^x$

$f(x)=3^x$

Ver

$3^x \ln 3$

12Inv. Mult.

$f(x)=\frac{1}{x^3}$

Ver

$-3x^{-4}$

13Log Prod

$f(x)=x \ln x$

Ver

$1\cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

14Exp Comp

$f(x)=e^{2x+1}$

Ver

$2e^{2x+1}$

15Cociente Trig

$f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$

Ver

$\sec^2 x$

16Raíz Cadena

$f(x)=\sqrt{\sin x}$

Ver

$\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

17Polinomio

$f(x)=\frac{x^4}{4}$

Ver

$x^3$

18Log Cociente

$f(x)=\ln(\frac{x}{2})$

Ver

$1/x$

19Base $a$

$f(x)=\log_2(x)$

Ver

$\frac{1}{x \ln 2}$

20Constante

$f(x)=\pi^2$

Ver

$0$