TopologíaHard
Halla el interior y la frontera del conjunto: $$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 1 \le x^2 + y^2 < 4 \} \cup \{(0,0)\} $$
Ver Solución
El punto aislado $(0,0)$ no tiene entorno dentro de A.
Interior: Corona abierta $1 < x^2+y^2 < 4$.
Frontera: Circunferencias $x^2+y^2=1$, $x^2+y^2=4$ y el punto $(0,0)$.
∂A = C_1 ∪ C_2 ∪ {(0,0)}
TopologíaMedium
Determina y dibuja el dominio de la función $f(x,y) = \ln(x^2 + y^2 - 4)$.
Ver Solución
1. Condición del logaritmo: argumento $> 0$.
2. Inecuación: $x^2 + y^2 - 4 > 0 \implies x^2 + y^2 > 2^2$.
3. Geometría: Puntos exteriores a la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.
4. La frontera ($x^2+y^2=4$) no está incluida (línea discontinua).
Exterior del círculo radio 2
LímitesHard
Estudia la existencia del límite $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$.
Ver Solución
1. Trayectoria recta $y=mx$: $\lim \frac{mx^3}{x^4+m^2x^2} = \lim \frac{mx}{x^2+m^2} = 0$.
2. Trayectoria parábola $y=x^2$: $\lim \frac{x^2(x^2)}{x^4+(x^2)^2} = \lim \frac{x^4}{2x^4} = 1/2$.
3. Como $0 \neq 1/2$, el límite depende del camino.
No existe
DerivadasMedium
Calcula la derivada cruzada $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ (o $f_{xy}$) de $f(x,y) = x \sin(x y)$.
Ver Solución
1. Derivada resp. a $x$: $f_x = 1\cdot\sin(xy) + x\cdot\cos(xy)\cdot y = \sin(xy) + xy\cos(xy)$.
2. Derivar eso resp. a $y$: La derivada de $\sin(xy)$ es $x\cos(xy)$.
3. Regla producto en $xy\cos(xy)$: $x\cos(xy) + xy(-\sin(xy)\cdot x)$.
4. Sumar todo: $2x\cos(xy) - x^2y\sin(xy)$.
2x cos(xy) - x²y sin(xy)
GeometríaEasy
Halla la ecuación del plano tangente al paraboloide $z = 4 - x^2 - 2y^2$ en el punto $P(1, 1, 1)$.
Ver Solución
1. Funciones parciales: $f_x = -2x$, $f_y = -4y$.
2. Evaluar en $(1,1)$: $f_x(1,1) = -2$, $f_y(1,1) = -4$.
3. Fórmula: $z - z_0 = f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)$.
4. $z - 1 = -2(x-1) - 4(y-1)$.
2x + 4y + z - 7 = 0
CadenaMedium
Sea $z = e^x \cos y$, con $x = st$ y $y = \sqrt{s^2+t^2}$. Calcula $\partial z / \partial s$.
Ver Solución
1. Árbol: $z \to (x,y) \to s$. Fórmula: $\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$.
2. $z_x = z$, $z_y = -e^x \sin y$.
3. $x_s = t$, $y_s = \frac{s}{\sqrt{s^2+t^2}}$.
4. Sustituir: $e^{st}\cos(\dots) \cdot t - e^{st}\sin(\dots) \cdot \frac{s}{\sqrt{s^2+t^2}}$.
t·z - (s/y)·e^x sin(y)
GradienteMedium
Dada $f(x,y) = x^2y^3$. ¿Cuál es la tasa de cambio en $P(1,1)$ en dirección del vector $\vec{v}=(3,4)$?
Ver Solución
1. Gradiente $\nabla f = (2xy^3, 3x^2y^2)$. En $(1,1)$ es $(2, 3)$.
2. Vector unitario $\vec{u} = \frac{(3,4)}{\sqrt{9+16}} = (0.6, 0.8)$.
3. Derivada direccional $D_u f = \nabla f \cdot \vec{u}$.
4. Producto escalar: $2(0.6) + 3(0.8) = 1.2 + 2.4$.
3.6
DiferencialHard
Usa diferenciales para aproximar el valor de $\sqrt{(3.02)^2 + (3.99)^2}$.
Ver Solución
1. Función $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$. Punto base $(3,4)$ donde $f=5$.
2. $dx = 0.02$, $dy = -0.01$.
3. Gradiente en $(3,4)$: $(3/5, 4/5) = (0.6, 0.8)$.
4. $df = 0.6(0.02) + 0.8(-0.01) = 0.012 - 0.008 = 0.004$.
Aprox: 5.004
ExtremosMedium
Clasifica los puntos críticos de $f(x,y) = x^2 - y^2 - 2x + 4y$.
Ver Solución
1. Gradiente nulo: $2x-2=0 \to x=1$; $-2y+4=0 \to y=2$. Punto $(1,2)$.
2. Hessiano: $f_{xx}=2, f_{yy}=-2, f_{xy}=0$.
3. Determinante $H = (2)(-2) - 0^2 = -4$.
4. Como $H < 0$, es un punto de silla (ni máx ni mín).
Punto de Silla en (1,2)
LagrangeHard
Minimiza $f(x,y)=x^2+y^2$ sujeto a la restricción $xy=1$ (con $x,y>0$).
Ver Solución
1. Ecuaciones: $2x = \lambda y$ y $2y = \lambda x$.
2. Dividiendo: $x/y = y/x \implies x^2=y^2 \implies x=y$ (pues $>0$).
3. Restricción: $x\cdot x = 1 \implies x=1, y=1$.
4. Valor mínimo $1^2+1^2$. (Es la distancia mínima al origen de la hipérbola).
f_min = 2 en (1,1)
ImplícitaMedium
Si $x^3 + y^3 + z^3 + 6xyz = 1$, calcula $\frac{\partial z}{\partial x}$.
Ver Solución
1. Definimos $F(x,y,z) = x^3+y^3+z^3+6xyz - 1 = 0$.
2. Fórmula: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$.
3. $F_x = 3x^2 + 6yz$.
4. $F_z = 3z^2 + 6xy$.
-(x² + 2yz) / (z² + 2xy)
DiferenciabilidadInsane
Analiza la diferenciabilidad en $(0,0)$ de: $$ f(x,y) = \frac{x^3}{x^2+y^2}, \quad f(0,0)=0 $$
Ver Solución
Continuidad: Sí (polares $r \cos^3 \theta \to 0$).
Parciales: $f_x(0,0)=1, f_y(0,0)=0$.
Límite diferenciabilidad: $\lim \frac{h^3/(h^2+k^2) - h}{\sqrt{h^2+k^2}}$.
Con $k=h$, da límite no nulo.
No es diferenciable.
CadenaMedium
Si $z = f(x/y)$, demuestra que $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0$.
Ver Solución
Sea $u = x/y$.
$z_x = f'(u) \cdot (1/y)$.
$z_y = f'(u) \cdot (-x/y^2)$.
Suma: $x(f'/y) + y(-xf'/y^2) = xf'/y - xf'/y = 0$.
Verificado (Teorema Euler)
ExtremosHard
Clasifica los puntos críticos de $f(x,y) = (x^2+y^2)e^{-x}$.
Ver Solución
Gradiente cero:
1) $2xe^{-x} - (x^2+y^2)e^{-x} = 0 \implies 2x - x^2 - y^2 = 0$.
2) $2ye^{-x} = 0 \implies y = 0$.
Sustituyendo $y=0$ en (1): $x(2-x)=0$. Puntos: $(0,0)$ y $(2,0)$.
Hessiano en $(0,0)$ es positivo def (Mín). En $(2,0)$ indefinido (Silla).
(0,0) Mínimo, (2,0) Silla