Banco de Ejercicios

1. Vectores y Puntos:
$P_r(2,3,0), \vec{v}_r(1,-1,2)$
$P_s(1,0,0), \vec{v}_s(1,1,-1)$
Vector $\vec{P_sP_r} = (1, 3, 0)$.

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2. Rango de Matrices:
Calculamos el producto mixto $[\vec{P_sP_r}, \vec{v}_r, \vec{v}_s]$. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 1(1-2) - 3(-1-2) = -1 + 9 = 8 \neq 0 $$ Como el determinante no es 0, los vectores son linealmente independientes.
Conclusión: Las rectas se cruzan.

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3. Distancia:
$$ d(r,s) = \frac{|[\vec{P_sP_r}, \vec{v}_r, \vec{v}_s]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|} $$ $\vec{v}_r \times \vec{v}_s = (-1, 3, 2)$. Módulo = $\sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$. $$ d(r,s) = \frac{8}{\sqrt{14}} \approx 2.14 u $$

a) Paralelismo:
El vector normal de $\pi$ es $\vec{n}=(1,1,m)$. El de $r$ es $\vec{v}=(1,1,2)$.
Para ser paralelos, $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$.
$1(1) + 1(1) + m(2) = 0 \Rightarrow 2 + 2m = 0$. $$ m = -1 $$
b) Corte con $m=1$:
Pasamos $r$ a paramétricas: $x=\lambda, y=1+\lambda, z=2+2\lambda$.
Sustituimos en $\pi (x+y+z=3)$:
$\lambda + (1+\lambda) + (2+2\lambda) = 3$
$4\lambda + 3 = 3 \Rightarrow 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
Punto de corte sustituyendo $\lambda=0$ en $r$: $$ P(0, 1, 2) $$

1. Recta perpendicular:
Pasa por $P$ con vector $\vec{n}=(2,-1,1)$.
$r: \{x=1+2t, y=-t, z=2+t\}$.
2. Punto de corte $M$:
$2(1+2t) - (-t) + (2+t) - 4 = 0$
$2+4t+t+2+t-4 = 0 \Rightarrow 6t = 0 \Rightarrow t=0$.
El punto de corte es $M(1,0,2)$. ¡Coincide con P!
Esto significa que $P$ pertenece al plano. $$ P' = P(1, 0, 2) $$

Determinante igualado a 0: $$ \begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$ Desarrollando por primera columna: $1 \cdot ((y-1)(1) - (z-1)(2)) = 0$. $$ y - 2z + 1 = 0 $$

Vectores $\vec{AB}=(-1,1,0)$ y $\vec{AC}=(-1,0,1)$.
Producto vectorial: $(1, 1, 1)$.
Área = $\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$. $$ \frac{\sqrt{3}}{2} u^2 $$

1. Valores Propios (Polinomio Característico):
Como $A$ es triangular inferior, los valores propios son los elementos de la diagonal. $$ \lambda_1 = 1 \text{ (multiplicidad algebraica } m_a=2) $$ $$ \lambda_2 = 2 \text{ (multiplicidad algebraica } m_a=1) $$
2. Condición de Diagonalización:
Para $\lambda=2$, $m_g=1$ siempre.
Para $\lambda=1$, necesitamos que $\dim(\ker(A-I)) = 2$. $$ A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ El rango de esta matriz es 1 (filas 2 y 3 son iguales).
$m_g(1) = 3 - \text{Rango} = 3 - 1 = 2$.
Como $m_g = m_a$ para todos, A es diagonalizable.

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3. Vectores Propios (Construcción de P):
$\underline{\lambda=1}$: Resolvemos $(A-I)\vec{v} = \vec{0} \Rightarrow x+y=0 \Rightarrow x=-y$. $z$ es libre.
Base: $\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)$ y $\vec{v}_2 = (0, 0, 1)$.

$\underline{\lambda=2}$: Resolvemos $(A-2I)\vec{v} = \vec{0}$. $$ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 $$ $x=0$. Luego $y-z=0 \Rightarrow y=z$.
Base: $\vec{v}_3 = (0, 1, 1)$. $$ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Valores propios: $\lambda=1$ ($m_a=2$), $\lambda=2$ ($m_a=1$).
Para diagonalizar, necesitamos $\dim(\ker(A-I))=2$. $$ A-I = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ El rango depende de $a$:
Si $a \neq 0$, el rango es 2 (hay un menor $2\times2$ no nulo con la $a$ y el $1$). Entonces $m_g = 3-2=1 \neq m_a$. No diagonaliza.
Si $a = 0$, el rango es 1. $m_g = 3-1=2 = m_a$. Sí diagonaliza. $$ a = 0 $$

Polinomio: $\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0 \Rightarrow (\lambda-4)(\lambda+1)=0$.
$\lambda_1=4, \lambda_2=-1$.
Vectores propios:
Para 4: $-4x+2y=0 \to y=2x \to \vec{v}_1=(1,2)$. Normalizado: $\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2)$.
Para -1: $x+2y=0 \to x=-2y \to \vec{v}_2=(-2,1)$. Normalizado: $\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1)$. $$ Q = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$

Por Cayley-Hamilton: $A^2 - 5A + 6I = 0$.
Despejamos $I$: $6I = 5A - A^2$.
Multiplicamos por $A^{-1}$: $6A^{-1} = 5I - A$. $$ A^{-1} = \frac{1}{6}(5I - A) $$