70 Ejercicios Full Practice
Desde la base hasta el nivel de examen parcial universitario.
Nivel Básico (Primitivas)
01
$\int 5 \, dx$
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La integral de una constante $k$ es $kx$.
$5x + C$
02
$\int x^6 \, dx$
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Regla de la potencia: sumar 1 al exponente y dividir.
$\frac{x^7}{7} + C$
03
$\int 4x^3 \, dx$
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El 4 multiplica. $\int x^3 = x^4/4$. Simplificamos.
$x^4 + C$
04
$\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx$
Ver Solución
Integral de la suma. $3(x^3/3) - 2(x^2/2) + x$.
$x^3 - x^2 + x + C$
05
$\int \frac{1}{x^4} \, dx$
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Escribir como $x^{-4}$. Sumar 1: $x^{-3}/-3$.
$-\frac{1}{3x^3} + C$
06
$\int \sqrt{x} \, dx$
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$x^{1/2} \to x^{3/2}/(3/2)$.
$\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$
07
$\int (2\sqrt{x} - 3) \, dx$
Ver Solución
$\int 2x^{1/2} - \int 3$.
$\frac{4}{3}x^{3/2} - 3x + C$
08
$\int (x+1)^2 \, dx$
Ver Solución
Expandir: $x^2 + 2x + 1$. Integrar.
$\frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$
09
$\int \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx$
Ver Solución
Es la derivada de la raíz.
$\sqrt{x} + C$
10
$\int 10x^9 \, dx$
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$x^{10} + C$
11
$v(t)=5$. Posición?
Ver Solución
$x(t) = 5t + C$
12
$a(t)=9.8$. Velocidad?
Ver Solución
$v(t) = 9.8t + C$
13
$v(t)=3t^2$. Posición?
Ver Solución
$t^3 + C$
14
$v(t)=2t+1$. Posición?
Ver Solución
$t^2 + t + C$
15
$a(t)=6t$. Velocidad?
Ver Solución
$3t^2 + C$
16
$\int x^{-3} dx$
Solución
$\frac{x^{-2}}{-2}$
$-1/(2x^2) + C$
17
$\int 4 dx$
Solución
$4x + C$
18
$\int \pi dx$
Solución
$\pi$ es un número.
$\pi x + C$
19
$\int \frac{2}{3}x dx$
Solución
$\frac{2}{3} \frac{x^2}{2}$
$\frac{1}{3}x^2 + C$
20
$\int (x-2) dx$
Solución
$\frac{x^2}{2} - 2x + C$
Cálculo & Métodos (20 Ej.)
01
$\int x e^{x^2} dx$
Solución
Sustitución $u=x^2 \to du=2xdx$.
$\frac{1}{2}e^{x^2} + C$
02
$\int x \ln x dx$
Solución
Por partes $u=\ln x$.
$\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$
03
$\int \sin^2 x dx$
Solución
Identidad $\frac{1-\cos 2x}{2}$.
$\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$
04
$\int \frac{1}{x^2-4} dx$
Solución
Fracciones simples $(x-2)(x+2)$.
$\frac{1}{4}\ln|\frac{x-2}{x+2}| + C$
05
$\int \arctan x dx$
Solución
Por partes $u=\arctan x, dv=1$.
$x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)$
06
$\int \cos(3x) dx$
Solución
$\frac{1}{3}\sin(3x) + C$
07
$\int e^{2x+1} dx$
Solución
$\frac{1}{2}e^{2x+1} + C$
08
$\int \frac{x}{1+x^2} dx$
Solución
Logarítmica.
$\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
09
$\int (2x+1)^5 dx$
Solución
$\frac{(2x+1)^6}{12} + C$
10
$\int \tan x dx$
Solución
$-\ln|\cos x| + C$
11
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
Solución
$\arcsin x + C$
12
$\int x \sin x dx$
Solución
Partes: $-x\cos x + \sin x$.
13
$\int \frac{\ln x}{x} dx$
Solución
Sust $u=\ln x \to \frac{1}{2}(\ln x)^2$.
14
$\int_0^1 e^x dx$
Solución
Definida.
$e - 1$
15
$\int_0^\pi \sin x dx$
Solución
$-(-1) - (-1) = 2$.
16
$\int \frac{1}{x \ln x} dx$
Solución
$\ln|\ln x| + C$.
17
$\int x \sqrt{1+x^2} dx$
Solución
$\frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2}$.
18
$\int \cos^3 x dx$
Solución
$\sin x - \frac{\sin^3 x}{3}$.
19
$\int \frac{x+1}{x} dx$
Solución
$x + \ln|x|$.
20
$\int_1^2 x^2 dx$
Solución
$7/3$.
🔥 Selectividad / PAU (10 Problemas)
PAU 01
Área Recinto Cerrado: Calcula el área del recinto limitado por la parábola $y = 4x - x^2$ y la recta $y = x$. Realiza un esbozo de la gráfica.
Solución Paso a Paso
1. Puntos de corte: Igualamos $4x - x^2 = x \implies 3x - x^2 = 0 \implies x(3-x)=0$. Puntos: $x=0$ y $x=3$.
2. Planteamiento: La parábola está por encima en $(0,3)$ (prueba $x=1 \to y_p=3, y_r=1$).
3. Integral: $\int_0^3 (4x - x^2 - x) \, dx = \int_0^3 (3x - x^2) \, dx$.
4. Cálculo: $[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^3 = (\frac{27}{2} - \frac{27}{3}) - 0 = 13.5 - 9 = 4.5$.
2. Planteamiento: La parábola está por encima en $(0,3)$ (prueba $x=1 \to y_p=3, y_r=1$).
3. Integral: $\int_0^3 (4x - x^2 - x) \, dx = \int_0^3 (3x - x^2) \, dx$.
4. Cálculo: $[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^3 = (\frac{27}{2} - \frac{27}{3}) - 0 = 13.5 - 9 = 4.5$.
4.5 u²
PAU 02
Optimización de Beneficios: La función de ingreso marginal de una empresa es $I'(x) = 20 - 0.02x$ y el coste marginal es $C'(x) = 5 + 0.01x$. Si los costes fijos son 100€, halla la función de Beneficio Total $B(x)$.
Solución Paso a Paso
1. Beneficio Marginal: $B'(x) = I'(x) - C'(x) = (20 - 0.02x) - (5 + 0.01x) = 15 - 0.03x$.
2. Integrar: $B(x) = \int (15 - 0.03x) dx = 15x - 0.015x^2 + K$.
3. Condición Inicial: Beneficio en 0 es igual a menos costes fijos. $B(0) = -100$.
4. Hallar K: $0 - 0 + K = -100 \implies K = -100$.
2. Integrar: $B(x) = \int (15 - 0.03x) dx = 15x - 0.015x^2 + K$.
3. Condición Inicial: Beneficio en 0 es igual a menos costes fijos. $B(0) = -100$.
4. Hallar K: $0 - 0 + K = -100 \implies K = -100$.
$B(x) = -0.015x^2 + 15x - 100$
PAU 03
Volumen de Revolución: Halla el volumen del cuerpo de revolución generado al girar la región limitada por $y=\sqrt{x-1}$, $x=5$ y el eje OX alrededor del eje de abscisas.
Solución Paso a Paso
1. Límites: La función corta el eje X en $x=1$. El otro límite es $x=5$.
2. Fórmula Discos: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.
3. Integral: $\pi \int_1^5 (\sqrt{x-1})^2 dx = \pi \int_1^5 (x-1) dx$.
4. Cálculo: $\pi [\frac{x^2}{2} - x]_1^5 = \pi [(\frac{25}{2} - 5) - (\frac{1}{2} - 1)] = \pi [7.5 - (-0.5)] = 8\pi$.
2. Fórmula Discos: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.
3. Integral: $\pi \int_1^5 (\sqrt{x-1})^2 dx = \pi \int_1^5 (x-1) dx$.
4. Cálculo: $\pi [\frac{x^2}{2} - x]_1^5 = \pi [(\frac{25}{2} - 5) - (\frac{1}{2} - 1)] = \pi [7.5 - (-0.5)] = 8\pi$.
$8\pi \approx 25.13 u^3$
PAU 04
Valor Medio: Se estima que la temperatura en una ciudad sigue la función $T(t) = 20 + 10\sin(\frac{\pi t}{12})$ durante las 24 horas del día ($0 \le t \le 24$). Calcula la temperatura media del día.
Solución Paso a Paso
1. Teorema Valor Medio: $T_{med} = \frac{1}{b-a} \int_a^b T(t) dt$.
2. Planteamiento: $\frac{1}{24} \int_0^{24} (20 + 10\sin(\frac{\pi t}{12})) dt$.
3. Integrar: La integral de 20 es $20t$. La de seno es coseno negativo ajustado: $-10 \cdot \frac{12}{\pi} \cos(\frac{\pi t}{12})$.
4. Evaluar: El término seno/coseno se anula en un periodo completo (0 a 24). Solo queda la constante: $\frac{1}{24} [20t]_0^{24} = 20$.
2. Planteamiento: $\frac{1}{24} \int_0^{24} (20 + 10\sin(\frac{\pi t}{12})) dt$.
3. Integrar: La integral de 20 es $20t$. La de seno es coseno negativo ajustado: $-10 \cdot \frac{12}{\pi} \cos(\frac{\pi t}{12})$.
4. Evaluar: El término seno/coseno se anula en un periodo completo (0 a 24). Solo queda la constante: $\frac{1}{24} [20t]_0^{24} = 20$.
20 ºC
PAU 05
Área con Valor Absoluto: Calcula el área de la región limitada por la función $f(x) = |x^2 - 4|$ y las rectas $x=0, x=3$ y el eje OX.
Solución Paso a Paso
1. Analizar Valor Absoluto: $x^2-4$ es negativo en $(0,2)$ y positivo en $(2,3)$.
2. Separar Integral: $\int_0^2 -(x^2-4) dx + \int_2^3 (x^2-4) dx$.
3. Parte 1: $[4x - x^3/3]_0^2 = (8 - 8/3) = 16/3$.
4. Parte 2: $[x^3/3 - 4x]_2^3 = (9-12) - (8/3-8) = -3 - (-16/3) = 7/3$.
5. Suma: $16/3 + 7/3 = 23/3$.
2. Separar Integral: $\int_0^2 -(x^2-4) dx + \int_2^3 (x^2-4) dx$.
3. Parte 1: $[4x - x^3/3]_0^2 = (8 - 8/3) = 16/3$.
4. Parte 2: $[x^3/3 - 4x]_2^3 = (9-12) - (8/3-8) = -3 - (-16/3) = 7/3$.
5. Suma: $16/3 + 7/3 = 23/3$.
23/3 u²
PAU 06
Problema de Física: Un cohete acelera con $a(t) = 6t$ m/s². Si parte del reposo ($v_0=0$) y desde la posición $x_0=10$m, ¿cuál es su posición a los 3 segundos?
Solución Paso a Paso
1. Velocidad: $v(t) = \int 6t dt = 3t^2 + C_1$. Como $v(0)=0 \to C_1=0$.
2. Posición: $x(t) = \int 3t^2 dt = t^3 + C_2$.
3. Condición Inicial: $x(0) = 10 \to C_2 = 10$.
4. Evaluar: $x(3) = 3^3 + 10 = 27 + 10$.
2. Posición: $x(t) = \int 3t^2 dt = t^3 + C_2$.
3. Condición Inicial: $x(0) = 10 \to C_2 = 10$.
4. Evaluar: $x(3) = 3^3 + 10 = 27 + 10$.
37 metros
PAU 07
Área y Tangente: Halla el área encerrada entre la curva $y=x^2$, el eje de ordenadas (OY) y la recta tangente a la curva en el punto $x=2$.
Solución Paso a Paso
1. Recta Tangente: Punto $(2,4)$. Pendiente $y'=2x \to m=4$. Recta: $y-4=4(x-2) \to y=4x-4$.
2. Corte Eje Y: La curva empieza en $x=0$. La tangente corta el eje Y en $y=-4$ (pero nos interesa el área entre $x=0$ y $x=2$).
3. Planteamiento: La curva $x^2$ está por encima de la recta $4x-4$ en el intervalo $[0,2]$. (Ojo: en $[0,1]$ la recta es negativa).
4. Integral: $\int_0^2 (x^2 - (4x-4)) dx = [\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x]_0^2$.
5. Cálculo: $(8/3 - 8 + 8) - 0$.
2. Corte Eje Y: La curva empieza en $x=0$. La tangente corta el eje Y en $y=-4$ (pero nos interesa el área entre $x=0$ y $x=2$).
3. Planteamiento: La curva $x^2$ está por encima de la recta $4x-4$ en el intervalo $[0,2]$. (Ojo: en $[0,1]$ la recta es negativa).
4. Integral: $\int_0^2 (x^2 - (4x-4)) dx = [\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x]_0^2$.
5. Cálculo: $(8/3 - 8 + 8) - 0$.
8/3 u²
PAU 08
Integral Definida con Parámetros: Halla $a > 0$ para que el área entre $y=x^2$ y la recta $y=a$ sea igual a 36 u².
Solución Paso a Paso
1. Cortes: $x^2 = a \implies x = \pm\sqrt{a}$.
2. Simetría: Área $= 2 \int_0^{\sqrt{a}} (a - x^2) dx$.
3. Integral: $2 [ax - \frac{x^3}{3}]_0^{\sqrt{a}} = 2(a\sqrt{a} - \frac{a\sqrt{a}}{3}) = 2(\frac{2}{3}a\sqrt{a}) = \frac{4}{3}a^{3/2}$.
4. Ecuación: $\frac{4}{3}a^{3/2} = 36 \implies a^{3/2} = 27 \implies a = (27^{2/3}) = 9$.
2. Simetría: Área $= 2 \int_0^{\sqrt{a}} (a - x^2) dx$.
3. Integral: $2 [ax - \frac{x^3}{3}]_0^{\sqrt{a}} = 2(a\sqrt{a} - \frac{a\sqrt{a}}{3}) = 2(\frac{2}{3}a\sqrt{a}) = \frac{4}{3}a^{3/2}$.
4. Ecuación: $\frac{4}{3}a^{3/2} = 36 \implies a^{3/2} = 27 \implies a = (27^{2/3}) = 9$.
$a = 9$
PAU 09
Área Recinto Ilimitado (Intro): Calcula el área comprendida entre la curva $y = e^{-x}$, los ejes de coordenadas y la recta $x=b$. Luego calcula el límite cuando $b \to \infty$.
Solución Paso a Paso
1. Área(b): $\int_0^b e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^b = -e^{-b} - (-1) = 1 - e^{-b}$.
2. Límite: $\lim_{b \to \infty} (1 - \frac{1}{e^b})$.
3. Resultado: Como $1/e^\infty \to 0$, el límite es 1.
2. Límite: $\lim_{b \to \infty} (1 - \frac{1}{e^b})$.
3. Resultado: Como $1/e^\infty \to 0$, el límite es 1.
1 u²
PAU 10
Cambio de Variable Definida: Calcula $\int_0^1 \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx$ usando el cambio $t=\sqrt{x}$.
Solución Paso a Paso
1. Diferencial: $t^2=x \implies 2t dt = dx$.
2. Límites: $x=0 \to t=0$; $x=1 \to t=1$.
3. Nueva Integral: $\int_0^1 \frac{2t}{1+t} dt$.
4. División: $\frac{2t}{t+1} = 2 - \frac{2}{t+1}$.
5. Primitiva: $[2t - 2\ln|t+1|]_0^1 = (2 - 2\ln 2) - (0)$.
2. Límites: $x=0 \to t=0$; $x=1 \to t=1$.
3. Nueva Integral: $\int_0^1 \frac{2t}{1+t} dt$.
4. División: $\frac{2t}{t+1} = 2 - \frac{2}{t+1}$.
5. Primitiva: $[2t - 2\ln|t+1|]_0^1 = (2 - 2\ln 2) - (0)$.
$2(1 - \ln 2)$
Nivel Examen Parcial
Problemas extraídos de exámenes reales de ingeniería (UPC).
01Área a Trozos (UPC)
Calcula l'àrea que formen la funció $g(x)=x^2-x$ i la funció $f(x)$ definida per: $$ f(x) = \begin{cases} x^3 & \text{si } x < 2 \\ 2x+4 & \text{si } x \ge 2 \end{cases} $$
Solución Paso a Paso
1. Puntos de corte:
- Tramo 1: $x^3 = x^2-x \implies x(x^2-x+1)=0$. Única real $x=0$.
- Tramo 2: $2x+4 = x^2-x \implies x^2-3x-4=0 \implies x=4$ (el -1 no vale pues $x \ge 2$).
2. Intervalos: Integraremos de 0 a 2 (con $x^3$) y de 2 a 4 (con $2x+4$).
3. Integral 1: $\int_0^2 (x^3 - (x^2-x)) dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}]_0^2 = 4 - 8/3 + 2 = 10/3$.
4. Integral 2: $\int_2^4 ((2x+4) - (x^2-x)) dx = \int_2^4 (-x^2+3x+4) dx$.
Valor: $[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x]_2^4 = 22/3$.
5. Suma: $10/3 + 22/3 = 32/3$.
- Tramo 1: $x^3 = x^2-x \implies x(x^2-x+1)=0$. Única real $x=0$.
- Tramo 2: $2x+4 = x^2-x \implies x^2-3x-4=0 \implies x=4$ (el -1 no vale pues $x \ge 2$).
2. Intervalos: Integraremos de 0 a 2 (con $x^3$) y de 2 a 4 (con $2x+4$).
3. Integral 1: $\int_0^2 (x^3 - (x^2-x)) dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}]_0^2 = 4 - 8/3 + 2 = 10/3$.
4. Integral 2: $\int_2^4 ((2x+4) - (x^2-x)) dx = \int_2^4 (-x^2+3x+4) dx$.
Valor: $[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x]_2^4 = 22/3$.
5. Suma: $10/3 + 22/3 = 32/3$.
32/3 u²
02Volumen Elipse (UPC)
Planteu la integral definida que permet calcular el volum de revolució que defineix la corba $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-4)^2}{9} = 1$ al girar al voltant de l'eix OX.
Solución Paso a Paso
1. Aislar y: $(y-4)^2 = 9(1 - \frac{(x-1)^2}{4})$. Arrel quadrada: $y = 4 \pm 3\sqrt{1 - \dots}$.
2. Radios: Tenemos dos funciones, $R(x) = y_{sup}$ (signo +) y $r(x) = y_{inf}$ (signo -).
3. Límites x: La elipse està centrada en $x=1$ amb semi-eix 2. Va de $-1$ a $3$.
4. Mètode de les Volanderes (Washers): $V = \pi \int_a^b (R(x)^2 - r(x)^2) dx$.
5. Plantejament:
2. Radios: Tenemos dos funciones, $R(x) = y_{sup}$ (signo +) y $r(x) = y_{inf}$ (signo -).
3. Límites x: La elipse està centrada en $x=1$ amb semi-eix 2. Va de $-1$ a $3$.
4. Mètode de les Volanderes (Washers): $V = \pi \int_a^b (R(x)^2 - r(x)^2) dx$.
5. Plantejament:
$\pi \int_{-1}^{3} \left( \left[4 + 3\sqrt{1-\frac{(x-1)^2}{4}}\right]^2 - \left[4 - 3\sqrt{1-\frac{(x-1)^2}{4}}\right]^2 \right) dx$
(Nota: Resolvent amb Pappus dona $2\pi(4) \cdot \pi(2)(3) = 24\pi^2$).
03Impròpia (UPC)
Calculeu la següent integral: $\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx$.
Solución Paso a Paso
1. Canvi de Variable: Sigui $t = 1 + e^{-x}$.
Derivant: $dt = -e^{-x} dx \implies -dt = e^{-x} dx$.
2. Nous Límits:
Si $x=0 \implies t = 1+1 = 2$.
Si $x \to \infty \implies t \to 1+0 = 1$.
3. Integral en t: $\int_2^1 \frac{-1}{t} dt = \int_1^2 \frac{1}{t} dt$. (Hem canviat el signe invertint els límits).
4. Resolució: $[\ln|t|]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.
Derivant: $dt = -e^{-x} dx \implies -dt = e^{-x} dx$.
2. Nous Límits:
Si $x=0 \implies t = 1+1 = 2$.
Si $x \to \infty \implies t \to 1+0 = 1$.
3. Integral en t: $\int_2^1 \frac{-1}{t} dt = \int_1^2 \frac{1}{t} dt$. (Hem canviat el signe invertint els límits).
4. Resolució: $[\ln|t|]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.
$\ln 2$
04Suma de Riemann
Calcula el límit com a integral: $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \left( 1 + \frac{2i}{n} \right)^4$.
Solución Paso a Paso
1. Identificar estructura: $\Delta x = 1/n$. El terme variable és $i/n$.
2. Funció: Podem veure-ho com $f(x) = (1+2x)^4$ en l'interval $[0,1]$.
3. Integral: $\int_0^1 (1+2x)^4 dx$.
4. Càlcul: Ajustem la derivada interna (2). $\frac{1}{2} \int (1+2x)^4 \cdot 2 dx$.
Primitiva: $\frac{1}{2} \frac{(1+2x)^5}{5}$.
5. Avaluar: $\frac{1}{10} [3^5 - 1^5] = \frac{242}{10}$.
2. Funció: Podem veure-ho com $f(x) = (1+2x)^4$ en l'interval $[0,1]$.
3. Integral: $\int_0^1 (1+2x)^4 dx$.
4. Càlcul: Ajustem la derivada interna (2). $\frac{1}{2} \int (1+2x)^4 \cdot 2 dx$.
Primitiva: $\frac{1}{2} \frac{(1+2x)^5}{5}$.
5. Avaluar: $\frac{1}{10} [3^5 - 1^5] = \frac{242}{10}$.
24.2
05Longitud Cicloide
Calcula la longitud d'un arc de la cicloide $x(t) = t - \sin t$, $y(t) = 1 - \cos t$ en $t \in [0, 2\pi]$.
Solución Paso a Paso
1. Derivades: $x' = 1-\cos t$, $y' = \sin t$.
2. Integrand: $\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} = \sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t} = \sqrt{2 - 2\cos t}$.
3. Identitat trigonomètrica: $1-\cos t = 2\sin^2(t/2)$. Així l'arrel queda $\sqrt{4\sin^2(t/2)} = 2\sin(t/2)$.
4. Integral: $\int_0^{2\pi} 2\sin(t/2) dt = [-4\cos(t/2)]_0^{2\pi}$.
5. Resultat: $-4(\cos \pi - \cos 0) = -4(-1 - 1) = 8$.
2. Integrand: $\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} = \sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t} = \sqrt{2 - 2\cos t}$.
3. Identitat trigonomètrica: $1-\cos t = 2\sin^2(t/2)$. Així l'arrel queda $\sqrt{4\sin^2(t/2)} = 2\sin(t/2)$.
4. Integral: $\int_0^{2\pi} 2\sin(t/2) dt = [-4\cos(t/2)]_0^{2\pi}$.
5. Resultat: $-4(\cos \pi - \cos 0) = -4(-1 - 1) = 8$.
8 unitats
06Doble (Canvi Ordre)
Calcula $\int_0^1 \int_y^1 e^{x^2} dx dy$. (Impossible d'integrar directament respecte x).
Solución Paso a Paso
1. Recinte: $0 \le y \le 1$ i $y \le x \le 1$. És un triangle amb vèrtexs (0,0), (1,0), (1,1).
2. Nou Ordre: Fixem x primer: $0 \le x \le 1$. Llavors y va de $0$ a $x$.
3. Nova Integral: $\int_0^1 \left( \int_0^x e^{x^2} dy \right) dx$.
4. Primera fase: La integral de dy és y. Avaluada: $x - 0 = x$.
5. Segona fase: $\int_0^1 x e^{x^2} dx$. És immediata (falta un 2).
$[\frac{1}{2} e^{x^2}]_0^1 = \frac{1}{2}(e^1 - e^0)$.
2. Nou Ordre: Fixem x primer: $0 \le x \le 1$. Llavors y va de $0$ a $x$.
3. Nova Integral: $\int_0^1 \left( \int_0^x e^{x^2} dy \right) dx$.
4. Primera fase: La integral de dy és y. Avaluada: $x - 0 = x$.
5. Segona fase: $\int_0^1 x e^{x^2} dx$. És immediata (falta un 2).
$[\frac{1}{2} e^{x^2}]_0^1 = \frac{1}{2}(e^1 - e^0)$.
$\frac{e-1}{2}$
07Teorema de Green
Usa Green per avaluar $\oint_C (3y dx + 2x dy)$ on C és el cercle unitari orientat positivament.
Solución Paso a Paso
1. Identificar P i Q: $P=3y$, $Q=2x$.
2. Derivades parcials: $\partial Q/\partial x = 2$, $\partial P/\partial y = 3$.
3. Fórmula Green: $\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dA = \iint_D (2-3) dA$.
4. Càlcul: $\iint_D -1 dA = -1 \cdot \text{Àrea}(D)$.
5. Àrea Cercle: $\pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi$.
2. Derivades parcials: $\partial Q/\partial x = 2$, $\partial P/\partial y = 3$.
3. Fórmula Green: $\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dA = \iint_D (2-3) dA$.
4. Càlcul: $\iint_D -1 dA = -1 \cdot \text{Àrea}(D)$.
5. Àrea Cercle: $\pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi$.
$-\pi$
08Impròpia 2a Espècie
Estudia la convergència de $\int_0^1 \ln(x) dx$.
Solución Paso a Paso
1. Problema: La funció $\ln x$ tendeix a $-\infty$ en 0. És impròpia.
2. Límit: $\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 \ln x dx$.
3. Primitiva: Per parts, $\int \ln x = x\ln x - x$.
4. Avaluar: $[x\ln x - x]_\epsilon^1 = (1\ln 1 - 1) - (\epsilon \ln \epsilon - \epsilon) = -1 - (\epsilon \ln \epsilon)$.
5. L'Hôpital: $\lim \epsilon \ln \epsilon = \lim \frac{\ln \epsilon}{1/\epsilon} = \lim \frac{1/\epsilon}{-1/\epsilon^2} = 0$.
El límit existeix i és -1.
2. Límit: $\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 \ln x dx$.
3. Primitiva: Per parts, $\int \ln x = x\ln x - x$.
4. Avaluar: $[x\ln x - x]_\epsilon^1 = (1\ln 1 - 1) - (\epsilon \ln \epsilon - \epsilon) = -1 - (\epsilon \ln \epsilon)$.
5. L'Hôpital: $\lim \epsilon \ln \epsilon = \lim \frac{\ln \epsilon}{1/\epsilon} = \lim \frac{1/\epsilon}{-1/\epsilon^2} = 0$.
El límit existeix i és -1.
Convergeix a -1
09Volum Esfera (Triples)
Demostra el volum de l'esfera $x^2+y^2+z^2 \le R^2$ usant coordenades esfèriques.
Solución Paso a Paso
1. Canvi esfèriques: Jacobiano $J = \rho^2 \sin \phi$.
2. Límits: $\rho \in [0, R]$, $\theta \in [0, 2\pi]$, $\phi \in [0, \pi]$.
3. Integral: $\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi d\phi \int_0^R \rho^2 d\rho$.
4. Resolent:
- Part $\theta$: $2\pi$.
- Part $\phi$: $[-\cos\phi]_0^\pi = -(-1 - 1) = 2$.
- Part $\rho$: $[\rho^3/3]_0^R = R^3/3$.
5. Producte: $2\pi \cdot 2 \cdot R^3/3$.
2. Límits: $\rho \in [0, R]$, $\theta \in [0, 2\pi]$, $\phi \in [0, \pi]$.
3. Integral: $\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi d\phi \int_0^R \rho^2 d\rho$.
4. Resolent:
- Part $\theta$: $2\pi$.
- Part $\phi$: $[-\cos\phi]_0^\pi = -(-1 - 1) = 2$.
- Part $\rho$: $[\rho^3/3]_0^R = R^3/3$.
5. Producte: $2\pi \cdot 2 \cdot R^3/3$.
$\frac{4}{3}\pi R^3$
10Teorema de Gauss
Calcula el flux del camp $\vec{F}=(x,y,z)$ a través de l'esfera unitaria usant el Teorema de la Divergència.
Solución Paso a Paso
1. Divergència: $\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3$.
2. Teorema: Flux $\Phi = \iiint_V (\nabla \cdot F) dV$.
3. Integral: $\iiint_V 3 dV = 3 \cdot \iiint_V dV$.
4. Interpretació: La integral triple de 1 és el volum de la regió (esfera r=1).
5. Càlcul: $3 \cdot (\frac{4}{3}\pi (1)^3) = 4\pi$.
2. Teorema: Flux $\Phi = \iiint_V (\nabla \cdot F) dV$.
3. Integral: $\iiint_V 3 dV = 3 \cdot \iiint_V dV$.
4. Interpretació: La integral triple de 1 és el volum de la regió (esfera r=1).
5. Càlcul: $3 \cdot (\frac{4}{3}\pi (1)^3) = 4\pi$.
$4\pi$