Banco de Probabilidad

Definimos sucesos: $D$ (Defectuosa).
$P(A)=0.45, P(D|A)=0.03$
$P(B)=0.30, P(D|B)=0.04$
$P(C)=0.25, P(D|C)=0.05$

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a) Probabilidad Total: $$ P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) $$ $P(D) = 0.03(0.45) + 0.04(0.30) + 0.05(0.25)$
$P(D) = 0.0135 + 0.012 + 0.0125 = 0.038$.

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b) Teorema de Bayes: $$ P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} $$ $$ P(A|D) = \frac{0.0135}{0.038} \approx 0.355 $$ $$ P(A|D) = 35.5\% $$

Es una binomial $B(n, p)$.
$n = 10$.
$p = 1/4 = 0.25$ (probabilidad de acertar).
$q = 0.75$.
Fórmula: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.

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a) $P(X=4)$:
$\binom{10}{4} (0.25)^4 (0.75)^6 = 210 \cdot 0.0039 \cdot 0.1779 \approx 0.146$.

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b) $P(X \geq 5)$:
Calculamos $1 - P(X \leq 4)$ o sumamos $P(5)+...+P(10)$.
Usando tablas o calculadora: $P(X \geq 5) \approx 0.078$. $$ a) 14.6\% \quad b) 7.8\% $$

Tipificamos la variable: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.

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a) $P(X < 70)$:
$P(Z < \frac{70-65}{8}) = P(Z < 0.625)$.
Mirando en la tabla Z (aprox 0.63): $0.7357$.

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b) $P(60 < X < 72)$:
$P(\frac{60-65}{8} < Z < \frac{72-65}{8})$
$P(-0.625 < Z < 0.875) = P(Z < 0.88) - P(Z < -0.63)$
$= P(Z < 0.88) - (1 - P(Z < 0.63))$
$= 0.8106 - (1 - 0.7357) = 0.8106 - 0.2643$ $$ a) 0.7357 \quad b) 0.5463 $$

Por leyes de Morgan: $\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$.
Por tanto: $P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$.
$1 - 0.2 = 0.8$. $$ 0.8 $$

Si son independientes: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.3 \cdot 0.4 = 0.12$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58$. $$ 0.58 $$

1. Hallar $k$:
La integral sobre todo el dominio debe ser 1. $$ \int_{0}^{2} kx^2 \, dx = k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = k(\frac{8}{3} - 0) = \frac{8k}{3} $$ $\frac{8k}{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{8}$.

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2. Probabilidad: $$ P(1 < X < 2) = \int_{1}^{2} \frac{3}{8}x^2 \, dx = \frac{3}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 $$ $$ = \frac{1}{8} (2^3 - 1^3) = \frac{1}{8}(8-1) $$ $$ k = 3/8, \quad P = 7/8 $$

Esperanza $E[X]$: $$ \int_{0}^{\infty} x \cdot 2e^{-2x} \, dx $$ Integrando por partes ($u=x, dv=2e^{-2x}dx$):
Resultado conocido para Exp($\lambda=2$): $E[X] = 1/\lambda = 1/2$.
Varianza $Var(X)$:
Para Exp($\lambda$): $Var(X) = 1/\lambda^2$.
$Var(X) = 1/2^2 = 1/4$. $$ E[X] = 0.5, \quad Var(X) = 0.25 $$

Teorema del cambio de variable. $y = g(x) = -2\ln(x) \Rightarrow x = e^{-y/2}$.
Jacobiano: $|\frac{dx}{dy}| = |-\frac{1}{2}e^{-y/2}| = \frac{1}{2}e^{-y/2}$.
Densidad de X es $f_X(x)=1$ en $(0,1)$.
$f_Y(y) = f_X(e^{-y/2}) \cdot |\frac{dx}{dy}|$.
Como $0 0$. $$ f_Y(y) = 1 \cdot \frac{1}{2}e^{-y/2} \text{ para } y > 0 $$ Esto es una distribución Exponencial con $\lambda = 1/2$. $$ f_Y(y) = \frac{1}{2}e^{-y/2} $$