Campo Eléctrico y Potencial
Cargas en reposo. Desde la fuerza entre puntos hasta distribuciones continuas.
1.1 Ley de Coulomb y Campo $\vec{E}$
La fuerza es la interacción; el campo es la perturbación del espacio.
$$ \vec{F} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{u}_r \quad ; \quad \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} = k \frac{Q}{r^2} \hat{u}_r $$
1.2 Potencial Eléctrico ($V$)
Trabajo por unidad de carga para traerla desde el infinito. Magnitud escalar.
$$ V = k \frac{Q}{r} \quad ; \quad W_{A \to B} = -q \Delta V = q(V_A - V_B) $$
Relación Campo-Potencial (Uni): $\vec{E} = - \vec{\nabla} V$ (Gradiente).
1.3 Ley de Gauss (Flujo)
Herramienta poderosa para calcular campos con alta simetría.
$$ \Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0} $$
Campo Magnético y Fuerzas
Las cargas en movimiento crean campos magnéticos ($\vec{B}$) y sienten fuerzas en presencia de ellos.
2.1 Fuerza de Lorentz
Fuerza sobre una carga $q$ con velocidad $\vec{v}$ en un campo $\vec{B}$. Es siempre perpendicular a $\vec{v}$ y $\vec{B}$ (no realiza trabajo).
$$ \vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}) $$
Fuerza total (Electromagnética): $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.
2.2 Fuentes de Campo (Biot-Savart)
Hilos infinitos y espiras crean campos magnéticos.
$$ B_{hilo} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \quad ; \quad B_{espira} = \frac{\mu_0 I}{2R} $$
2.3 Ley de Ampère
$$ \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{conc} $$
Inducción y Ecuaciones de Maxwell
La unificación de la electricidad y el magnetismo. Campos variables crean campos del otro tipo.
3.1 Ley de Faraday-Lenz
La variación del flujo magnético induce una fuerza electromotriz (FEM) que se opone a la causa que la produce.
$$ \mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dt} \quad ; \quad \Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{S} $$
3.2 Las 4 Ecuaciones de Maxwell (Forma Integral)
El resumen de todo el electromagnetismo clásico.
1. Gauss E: $\displaystyle \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$
2. Gauss B: $\displaystyle \oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$ (No monopolos)
3. Faraday: $\displaystyle \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$
4. Ampère-Maxwell: $\displaystyle \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$
2. Gauss B: $\displaystyle \oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$ (No monopolos)
3. Faraday: $\displaystyle \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$
4. Ampère-Maxwell: $\displaystyle \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$
Batería de 30 Problemas (MANEL NIGER)
Desde ejercicios clásicos de EBAU hasta retos de cálculo vectorial universitario.
EBAU Equilibrio de Cargas: Dos cargas $q$ en $(a,0)$ y $(-a,0)$. ¿Qué carga $Q$ hay que poner en el origen para que el sistema esté en equilibrio?
1. Fuerza sobre la carga $q$ de la derecha debida a la otra $q$: Repulsiva hacia la derecha. $F_{qq} = k q^2 / (2a)^2$.
2. Fuerza sobre esa $q$ debida a $Q$ (en el origen): Debe ser atractiva (hacia la izquierda). $F_{qQ} = k qQ / a^2$.
3. Igualar módulos: $k q^2 / 4a^2 = k qQ / a^2$.
4. Simplificar: $q/4 = Q$.
5. Como debe ser atractiva, $Q$ debe tener signo opuesto.
Q = -q/4
UNI Campo de una Varilla: Varilla de longitud $L$ con carga $Q$ distribuida uniformemente ($\lambda$). Calcule $\vec{E}$ en un punto sobre su mediatriz a distancia $d$.
1. Elemento de carga $dq = \lambda dy$. Campo $dE = k dq / r^2$.
2. Por simetría, solo sobrevive la componente horizontal $dE_x = dE \cos\theta$.
3. Integrar desde $-L/2$ a $L/2$. $r = \sqrt{y^2 + d^2}$. $\cos\theta = d/r$.
4. $E = \int k \lambda d / (y^2+d^2)^{3/2} dy$.
5. Resultado tras integrar: $E = \frac{kQ}{d\sqrt{d^2 + (L/2)^2}}$.
E = \frac{2k\lambda}{d\sqrt{4d^2+L^2}} L
HARD Trabajo Externo: Tres cargas $+q$ en los vértices de un triángulo equilátero de lado $L$. Trabajo para traer una cuarta carga $+q$ al centro.
1. Potencial en el centro creado por las 3 cargas: $V_{tot} = 3 \cdot (kq/d)$.
2. Distancia vértice-centro: $d = L / \sqrt{3}$.
3. $V_{tot} = 3kq / (L/\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} kq / L$.
4. Trabajo externo $W = q \Delta V = q (V_{fin} - V_{\infty}) = q \cdot V_{tot}$.
W = \frac{3\sqrt{3}kq^2}{L}
HARD Espectrómetro de Masas: Un ión entra en una zona con $\vec{E}$ y $\vec{B}$ cruzados (selector de velocidades) y luego solo $\vec{B}$. Calcule la relación $q/m$ si el radio de giro es $R$.
1. Selector: $F_e = F_m \Rightarrow qE = qvB \Rightarrow v = E/B$.
2. Zona de giro (solo B): $F_m = F_c \Rightarrow qvB = m v^2 / R$.
3. Despejar $q/m = v / (BR)$.
4. Sustituir $v$: $q/m = (E/B) / (BR)$.
q/m = E / (B² R)
EBAU Dos Hilos Paralelos: Dos conductores rectilíneos infinitos portan corrientes $I_1$ y $I_2$ en el mismo sentido separados una distancia $d$. ¿Dónde se anula el campo magnético?
1. Los campos en la zona intermedia tienen sentidos opuestos (Regla mano derecha).
2. $B_1 = B_2 \Rightarrow \frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (d-x)}$.
3. Simplificando: $I_1 / x = I_2 / (d-x)$.
4. $I_1(d-x) = I_2 x \Rightarrow I_1 d = x(I_1 + I_2)$.
x = d \cdot \frac{I_1}{I_1 + I_2}
HARD Varilla Deslizante: Una varilla de longitud $L$ se mueve a velocidad $v$ sobre raíles en "U" dentro de un campo $B$ perpendicular. Resistencia total $R$. Fuerza necesaria para mantener $v$ constante.
1. Área barrida $dS = L \cdot dx = L \cdot v \cdot dt$.
2. FEM inducida $|\mathcal{E}| = d\Phi/dt = B \cdot dS/dt = B L v$.
3. Corriente inducida $I = \mathcal{E}/R = BLv/R$.
4. Fuerza magnética sobre la varilla (frenado): $F_m = I L B = (BLv/R) L B$.
5. Para $v$ cte, $F_{ext} = F_m$.
F = \frac{B^2 L^2 v}{R}
UNI Inducción Mutua (Solenoide): Calcule la inductancia mutua $M$ de dos solenoides coaxiales de longitud $l$, con $N_1$ y $N_2$ espiras, sección $A$.
1. Campo creado por solenoide 1: $B_1 = \mu_0 (N_1/l) I_1$.
2. Flujo a través del solenoide 2: $\Phi_{21} = N_2 \cdot B_1 \cdot A$.
3. $\Phi_{21} = N_2 (\mu_0 N_1 I_1 / l) A$.
4. Definición $M = \Phi_{21} / I_1$.
M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{l}
EBAU¿Puede un campo magnético estático realizar trabajo sobre una carga?
No. La fuerza $F = q(\vec{v} \times \vec{B})$ es siempre perpendicular al desplazamiento.
HARDElectrón lanzado contra campo E (Frenado). Distancia.
Trabajo-Energía: $q \Delta V = \Delta E_k$. $e E d = 0.5 m v^2$.
UNICorriente de Desplazamiento (Maxwell).
$I_d = \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$. Explica campo B entre placas de condensador.
EBAUUnidad de Flujo Magnético.
Weber (Wb) = Tesla · m².
HARDEspira girando en campo B (Generador AC).
$\Phi = B S \cos(\omega t)$. $\mathcal{E} = -d\Phi/dt = B S \omega \sin(\omega t)$.
UNIVector de Poynting $\vec{S}$.
$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$. Representa el flujo de energía de la onda EM.
EBAUDirección fuerza entre dos cables corrientes paralelas mismo sentido.
Atractiva.
HARDPeriodo de partícula en ciclotrón.
$T = 2\pi m / (qB)$. Independiente de la velocidad (no relativista).
EBAU¿El potencial eléctrico es vector o escalar?
Escalar (Número + Unidad). El campo eléctrico es vectorial.
UNICampo E de esfera conductora cargada (Radio R).
Dentro ($rR$): Como carga puntual $kQ/r^2$.
HARDMomento dipolar magnético de bobina $N$ vueltas.
$\vec{m} = N I \vec{S}$. Torque $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$.
EBAULíneas de campo E vs B.
E: Nacen en + y mueren en -. B: Son cerradas (no hay monopolos).
HARDFuerza neta sobre dipolo eléctrico en campo uniforme.
Cero. Pero experimenta un par de fuerzas (torque).
UNIEnergía almacenada en un inductor.
$U = \frac{1}{2} L I^2$.
EBAULey de Ohm generalizada.
$\vec{J} = \sigma \vec{E}$. ($\vec{J}$ densidad corriente, $\sigma$ conductividad).
HARDCampo B en el centro de un cuadrado de corrientes.
Superposición de 4 hilos finitos.
EBAU¿Qué es un electronvoltio (eV)?
Energía ganada por un electrón al pasar 1V. $1.6 \cdot 10^{-19}$ J.
UNIEcuación de onda EM en vacío.
$\nabla^2 \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0$. Velocidad $c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$.
HARDCapacidad condensador plano con dieléctrico.
$C = \varepsilon_r \varepsilon_0 A / d$. Aumenta con dieléctrico.
EBAURegla de la mano derecha (Fuerza Lorentz).
Índice (v), Medio (B), Pulgar (F). Para carga positiva.
UNIAutoinducción toroide.
$L = \mu_0 N^2 h \ln(b/a) / 2\pi$.
HARDVelocidad deriva electrones en cable.
Es muy lenta (mm/s), aunque la señal es casi $c$. $I = n q v_d S$.
EBAUPermeabilidad magnética del vacío ($\mu_0$).
$4\pi \cdot 10^{-7}$ T·m/A.