Innove Funciones
Domina el análisis matemático. Desde operaciones básicas hasta Polinomios de Taylor y Límites.
Fundamentos
Suma y Composición
Básico
Operaciones
Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Pero la reina es la Composición.
$$ (f+g)(x) = f(x) + g(x) $$
$$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $$
En la composición, metemos $g(x)$ dentro de $f(x)$. ¡El orden importa!
Ejemplos Prácticos
1Suma
$f(x)=x^2, g(x)=x+1$
Ver Solución
Sumamos los términos semejantes.
$(f+g)(x) = x^2 + (x+1)$. $$ x^2 + x + 1 $$
$(f+g)(x) = x^2 + (x+1)$. $$ x^2 + x + 1 $$
2Composición
$(f \circ g)(x)$
Ver Solución
Metemos $g(x)$ dentro de las "x" de $f$.
$f(g(x)) = (x+1)^2$.
Desarrollamos el notable. $$ x^2 + 2x + 1 $$
$f(g(x)) = (x+1)^2$.
Desarrollamos el notable. $$ x^2 + 2x + 1 $$
Análisis y Gráficas
Límites & Representación
Tendencia
Límites
El comportamiento de una función cuando $x$ se acerca a un valor, aunque no llegue a tocarlo.
$$ \lim_{x \to c} f(x) = L $$
Indeterminaciones Clave
- $\frac{0}{0}$: Factorizar o L'Hôpital.
- $\frac{\infty}{\infty}$: Comparar grados.
- $1^\infty$: Número $e$.
Cálculo de Límites
1Infinito/Infinito
$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2-3}$
Ver Solución
Mismo grado (2) arriba y abajo. Dividimos coeficientes principales.
$2/1 = 2$. $$ 2 $$
$2/1 = 2$. $$ 2 $$
2Cero/Cero
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}$
Ver Solución
Factorizamos numerador: $(x-1)(x+1)$.
Cancelamos $(x-1)$.
Queda $\lim_{x \to 1} (x+1) = 2$. $$ 2 $$
Cancelamos $(x-1)$.
Queda $\lim_{x \to 1} (x+1) = 2$. $$ 2 $$
Gráficas
Representación
Usamos derivadas para dibujar la función con precisión.
- $f'(x) = 0$: Puntos Críticos (Posibles Máx/Mín).
- $f'(x) > 0$: Función Creciente $\nearrow$.
- $f''(x)$: Curvatura (Cóncava/Convexa).
3Extremos
$f(x) = x^3 - 3x$
Ver Solución
Derivamos: $f'(x) = 3x^2 - 3$.
Igualamos a 0: $3(x^2-1)=0 \to x = \pm 1$.
Evaluamos: $f(1)=-2$ (Mín), $f(-1)=2$ (Máx). $$ \text{Max en } (-1, 2), \text{ Min en } (1, -2) $$
Igualamos a 0: $3(x^2-1)=0 \to x = \pm 1$.
Evaluamos: $f(1)=-2$ (Mín), $f(-1)=2$ (Máx). $$ \text{Max en } (-1, 2), \text{ Min en } (1, -2) $$
Polinomios de Taylor
Aproximación de Funciones
La Joya
Teorema de Taylor
Cualquier función suave puede aproximarse mediante un polinomio si conocemos sus derivadas en un punto $a$.
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n $$
Si $a=0$, se llama Serie de Maclaurin.
$$ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots $$
Ejercicios Resueltos
1Exponencial
Taylor de $e^x$ en $a=0$
Ver Solución
$f(x)=e^x \to f(0)=1$.
$f'(x)=e^x \to f'(0)=1$.
Todas las derivadas en 0 valen 1.
La fórmula queda $\sum \frac{1}{n!}x^n$. $$ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots $$
$f'(x)=e^x \to f'(0)=1$.
Todas las derivadas en 0 valen 1.
La fórmula queda $\sum \frac{1}{n!}x^n$. $$ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots $$
2Seno
Taylor de $\sin(x)$ en $a=0$
Ver Solución
$f(0) = \sin(0) = 0$.
$f'(0) = \cos(0) = 1$.
$f''(0) = -\sin(0) = 0$.
$f'''(0) = -\cos(0) = -1$.
Solo sobreviven las potencias impares con signos alternos. $$ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots $$
$f'(0) = \cos(0) = 1$.
$f''(0) = -\sin(0) = 0$.
$f'''(0) = -\cos(0) = -1$.
Solo sobreviven las potencias impares con signos alternos. $$ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots $$
3Grado 2
$\sqrt{x}$ en $a=1$, $n=2$
Ver Solución
$f(1) = 1$.
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \to f'(1)=\frac{1}{2}$.
$f''(x)=\frac{-1}{4x^{3/2}} \to f''(1)=\frac{-1}{4}$.
Polinomio: $1 + \frac{1}{2}(x-1) + \frac{-1/4}{2}(x-1)^2$. $$ 1 + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{8}(x-1)^2 $$
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \to f'(1)=\frac{1}{2}$.
$f''(x)=\frac{-1}{4x^{3/2}} \to f''(1)=\frac{-1}{4}$.
Polinomio: $1 + \frac{1}{2}(x-1) + \frac{-1/4}{2}(x-1)^2$. $$ 1 + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{8}(x-1)^2 $$
Series de Potencias
Convergencia
Intervalo
Radio de Convergencia
Una serie de Taylor no siempre converge para todo $x$. Buscamos el radio $R$ donde la serie es válida.
$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L \implies R = \frac{1}{L} $$
Usamos el Criterio del Cociente (Ratio Test).
4Geométrica
$\sum x^n$
Ver Solución
Coeficientes $a_n = 1$.
Límite del cociente: $1/1 = 1$.
$R = 1/1 = 1$.
Converge si $|x| < 1$. $$ (-1, 1) $$
Límite del cociente: $1/1 = 1$.
$R = 1/1 = 1$.
Converge si $|x| < 1$. $$ (-1, 1) $$