Función Lineal

$f(x) = mx + n$

Definición

Una función lineal representa una línea recta en el plano cartesiano. Es la función polinómica más simple de grado 1.

Propiedades

  • Dominio: $\mathbb{R}$ (Todos los reales)
  • Recorrido: $\mathbb{R}$ (Si $m \neq 0$)
  • Monotonía: Creciente si $m > 0$, Decreciente si $m < 0$.

Parámetros

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \tan(\alpha)$

$m$ (Pendiente): Indica la inclinación de la recta.

$n$ (Ordenada): Punto de corte con el eje Y $(0, n)$.

Función Cuadrática

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Definición

Una función cuadrática forma una parábola. Es fundamental en física para describir el movimiento uniformemente acelerado.

Vértice

$x_v = \frac{-b}{2a}, \quad y_v = f(x_v)$

El vértice es el punto máximo (si $a<0$) o mínimo (si $a>0$) de la parábola.

Discriminante

$\Delta = b^2 - 4ac$

Determina el número de raíces reales:

  • $\Delta > 0$: 2 cortes con eje X.
  • $\Delta = 0$: 1 corte (tangente).
  • $\Delta < 0$: No corta el eje X.

Exponencial y Logarítmica

$y = a^x \iff x = \log_a(y)$

Observa la simetría respecto a la recta $y=x$. Son funciones inversas.

Función Exponencial

Crecimiento o decrecimiento rápido. Fundamental en biología (poblaciones) y economía (interés compuesto).

$\lim_{x \to \infty} a^x = \infty \quad (a>1)$

Función Logarítmica

Es la inversa de la exponencial. Transforma multiplicaciones en sumas.

$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

El Número $e$

Base natural del cálculo. $e \approx 2.718$. La función $e^x$ es su propia derivada.

Trigonometría Avanzada

$y = A \cdot \text{func}(\omega x + \phi)$

Ondas Periódicas

Modelan fenómenos cíclicos como el sonido, la luz y las mareas.

Parámetros de Onda

  • Amplitud ($A$): Altura máxima de la onda.
  • Periodo ($T$): Tiempo en completar un ciclo. $T = 2\pi / \omega$.
  • Frecuencia ($f$): Ciclos por segundo. $f = 1/T$.
  • Fase ($\phi$): Desplazamiento horizontal.

Identidad Fundamental

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

La Derivada (Recta Tangente)

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Valor $f(x_0)$: 1.00
Pendiente $f'(x_0)$: -3.00

Interpretación Geométrica

La derivada $f'(x_0)$ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $(x_0, f(x_0))$.

Interpretación Física

Representa la velocidad instantánea de cambio. Si $f(t)$ es posición, $f'(t)$ es velocidad.

Puntos Críticos

Donde $f'(x) = 0$, la tangente es horizontal. Estos puntos son candidatos a máximos o mínimos locales.

Geometría Diferencial

Superficies Paramétricas y Topología

Explora superficies complejas. Algunas no son orientables (Möbius, Klein).

Parametrización

Una superficie en $\mathbb{R}^3$ se define por una función vectorial $\vec{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$.

Curvatura

Curvatura Gaussiana ($K$): Producto de las curvaturas principales.
Si $K > 0$: Esfera.
Si $K < 0$: Silla de montar (Hiperbólica).
Si $K = 0$: Plano o Cilindro.

Superficies Minimales

Como el Helicoide, tienen curvatura media $H=0$ en todo punto. Minimizan el área para un contorno dado (como pompas de jabón).

Cálculo Vectorial

Campos, Divergencia y Rotacional

Definición

Un campo vectorial asigna un vector a cada punto del espacio. Ejemplos: Velocidad del viento, Campo Eléctrico.

Operadores Diferenciales

$\nabla \cdot \vec{F} = \text{div } \vec{F}$

Divergencia: Mide cuánto "nace" o "muere" el campo en un punto (Fuentes y Sumideros).

$\nabla \times \vec{F} = \text{rot } \vec{F}$

Rotacional: Mide la tendencia del campo a rotar alrededor de un punto (Vórtices).