Ley de la Gravitación Universal

Newton unificó la física terrestre y celeste. La fuerza gravitatoria es una interacción atractiva, central y conservativa.

1.1 Fuerza Gravitatoria ($\vec{F}$)

Dos masas puntuales se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

$$ \vec{F} = - G \frac{M \cdot m}{r^2} \hat{u}_r $$

$G = 6.67 \cdot 10^{-11} \, N \cdot m^2 / kg^2$ (Constante de Cavendish).
El signo menos indica que es atractiva (opuesta al vector radial).

1.2 Principio de Superposición

Si hay varias masas, la fuerza total sobre una partícula es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por cada una de las otras.

$$ \vec{F}_{total} = \sum \vec{F}_i = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots $$

Campo Gravitatorio y Potencial

2.1 Intensidad del Campo ($\vec{g}$)

Fuerza por unidad de masa. Es un campo vectorial.

$$ \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = - G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r $$

En la superficie terrestre, $|\vec{g}_0| \approx 9.8 \, m/s^2$.

2.2 Energía Potencial ($E_p$)

El trabajo realizado por el campo es $W = -\Delta E_p$. Tomando el origen de energía en el infinito ($E_p(\infty) = 0$):

$$ E_p(r) = - G \frac{M \cdot m}{r} $$

¡Importante! Siempre es negativa para sistemas ligados.

2.3 Potencial Gravitatorio ($V$)

Energía potencial por unidad de masa (Escalar).

$$ V = \frac{E_p}{m} = - G \frac{M}{r} \quad [J/kg] $$

Teorema de Gauss (Nivel UNI)

El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es proporcional a la masa encerrada.

$$ \oint \vec{g} \cdot d\vec{S} = -4\pi G M_{int} $$

Mecánica Orbital y Satélites

Estudio del movimiento de cuerpos bajo la influencia de la gravedad (Kepler + Newton).

3.1 Dinámica Circular (Satélites)

La fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta (normal).

$$ F_g = F_c \Rightarrow G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r $$

De aquí deducimos la Velocidad Orbital:

$$ v_{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$

3.2 Tercera Ley de Kepler

Relaciona el periodo ($T$) y el radio de órbita ($r$).

$$ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{T^2}{r^3} = \text{cte} $$

3.3 Energía Mecánica y Velocidades Cósmicas

La energía total de un satélite en órbita circular es constante y negativa:

$$ E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} E_p = - G \frac{Mm}{2r} $$

Velocidad de Escape ($v_e$)

Velocidad mínima para escapar de la atracción (llegar al infinito con velocidad 0). $E_m = 0$.

$$ \frac{1}{2}mv_e^2 - G\frac{Mm}{R} = 0 \Rightarrow v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2 g_0 R} $$

Batería de 30 Problemas (Cosmic Level)

Desde cálculos de satélites hasta distribuciones de masa y energía de transferencia.

EBAU Gravedad en Marte: Sabiendo que la masa de Marte es 0.11 veces la de la Tierra y su radio 0.53 veces el terrestre, calcule $g_{Marte}$. ($g_0=9.8$).

1. Fórmula: $g = G M / R^2$. 2. Relación: $g_M = G (0.11 M_T) / (0.53 R_T)^2$. 3. $g_M = \frac{0.11}{0.53^2} \left( G \frac{M_T}{R_T^2} \right) = \frac{0.11}{0.2809} g_0$. 4. $g_M = 0.391 \cdot 9.8 = 3.84 \, m/s^2$.

g = 3.84 m/s²

HARD Punto de Gravedad Nula: Distancia Tierra-Luna $D = 384000$ km. $M_T = 81 M_L$. ¿Dónde se anula el campo?

1. Punto a distancia $x$ de la Tierra. $g_T = g_L$. 2. $G \frac{M_T}{x^2} = G \frac{M_L}{(D-x)^2}$. 3. Raíz cuadrada: $\frac{\sqrt{M_T}}{x} = \frac{\sqrt{M_L}}{D-x}$. 4. $\frac{9}{x} = \frac{1}{D-x} \Rightarrow 9(D-x) = x \Rightarrow 9D = 10x$. 5. $x = 0.9 D = 0.9 \cdot 384000 = 345600$ km.

x = 345600 km

UNI Gravedad Interior: Demuestre usando Gauss que dentro de un planeta (esfera homogénea), $g$ es proporcional al radio ($g \propto r$).

1. Gauss: $\oint \vec{g} \cdot d\vec{S} = -4\pi G M_{int}$. Esfera radio $r < R$. 2. $g(r) \cdot 4\pi r^2 = -4\pi G (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3)$. 3. $g(r) = - \frac{4}{3} \pi G \rho \cdot r$. 4. Como $\rho$ es cte, $g$ crece linealmente con $r$ desde el centro.

g = - k · r

EBAU Lanzamiento Vertical: Se lanza un cohete desde la Tierra con velocidad $v_0 = v_{escape}/2$. ¿Qué altura máxima alcanza? (Radio Tierra $R$).

1. Cons. Energía: $E_{sup} = E_{max}$. $E_p = -GmM/r$. 2. $\frac{1}{2}m(v_e/2)^2 - G\frac{mM}{R} = 0 - G\frac{mM}{r_{max}}$. 3. Sabemos $v_e^2 = 2GM/R$. Sustituimos: $\frac{1}{2}m(\frac{2GM}{4R}) - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{r_{max}}$. 4. $\frac{GM}{4R} - \frac{GM}{R} = -\frac{GM}{r_{max}} \Rightarrow -\frac{3}{4R} = -\frac{1}{r_{max}}$. 5. $r_{max} = \frac{4}{3}R$. Altura $h = r_{max} - R = R/3$.

h = R/3

HARD Sistema Binario: Dos estrellas de igual masa $M$ giran alrededor de su CM bajo su atracción mutua. Distancia entre ellas $D$. Halle el periodo.

1. Radio de giro de cada una: $R = D/2$. Fuerza: $F = G M^2 / D^2$. 2. Dinámica: $F = M \omega^2 R$. 3. $G \frac{M^2}{D^2} = M \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \frac{D}{2}$. 4. Simplificar M: $G \frac{M}{D^2} = \frac{4\pi^2}{T^2} \frac{D}{2}$. 5. $T^2 = \frac{2\pi^2 D^3}{GM}$.

T = √(2π²D³/GM)

EBAU Satélite Geoestacionario: ¿A qué altura debe orbitar para tener un periodo de 24h? ($M_T = 5.97 \cdot 10^{24}$ kg).

1. Kepler 3: $r^3 = \frac{GM T^2}{4\pi^2}$. $T = 86400$ s. 2. $r^3 = \frac{6.67\cdot 10^{-11} \cdot 5.97\cdot 10^{24} \cdot 86400^2}{4\pi^2} \approx 7.54 \cdot 10^{22}$. 3. $r = \sqrt[3]{7.54 \cdot 10^{22}} \approx 4.22 \cdot 10^7$ m (42200 km). 4. Altura $h = r - R_T = 42200 - 6370 = 35830$ km.

h ≈ 36000 km

HARD Cambio de Órbita: Energía necesaria para pasar un satélite de 500 kg de una órbita $2R_T$ a $3R_T$.

1. Energía orbital total: $E_m = - G \frac{mM}{2r}$. 2. $\Delta E = E_f - E_i = - G \frac{mM}{2(3R)} - \left( - G \frac{mM}{2(2R)} \right)$. 3. $\Delta E = \frac{GMm}{2R} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{GMm}{2R} \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{GMm}{12R}$. 4. Sustituir $GM/R^2 = g_0 \Rightarrow GM/R = g_0 R$. 5. $\Delta E = \frac{mg_0 R}{12}$.

ΔE = mg₀R / 12

EBAU¿El trabajo del campo gravitatorio en órbita circular es 0?

Sí, la fuerza es perpendicular al desplazamiento en todo momento.

HARDVelocidad de impacto de un meteorito desde el infinito ($v_0=0$).

Es igual a la velocidad de escape: $v = \sqrt{2GM/R}$.

UNIPotencial de un anillo en su eje.

$V(z) = -GM / \sqrt{R^2+z^2}$.

EBAUSi el radio de órbita se cuadruplica, ¿periodo?

$T^2 \propto r^3$. Si $r$ x4, $T$ x8.

HARDPérdida de energía por rozamiento atmosférico.

El satélite cae a una órbita más baja y, paradójicamente, aumenta su velocidad.

EBAUPeso en la ISS (Estación Espacial).

No es cero. Hay microgravedad (aprox 90% de $g_0$). Flotan por estar en caída libre continua.

UNIEsfera hueca: Campo en el interior.

Cero. (Teorema de los cascarones de Newton).

HARDVelocidad angular para gravedad cero en el ecuador.

$g = \omega^2 R$. La fuerza centrífuga igualaría la atracción.

EBAURelación $g_0$ y $G$.

$g_0 = GM/R^2$.

UNIMomento Angular ($L$) en órbitas.

Es constante (Fuerza central, torque nulo). $L = mvr$ (en perihelio/afelio).

HARDRelación velocidades Perihelio/Afelio.

$v_p r_p = v_a r_a \Rightarrow v_p/v_a = r_a/r_p$.

EBAU¿Puede ser positivo el potencial gravitatorio?

No, con la referencia en infinito es siempre negativo (atractivo).

UNIMarea: Origen físico.

Diferencia de fuerza gravitatoria de la Luna entre el centro de la Tierra y la superficie.

HARDEnergía de ionización gravitatoria.

Energía para llevar un satélite de $r$ al infinito. $E_{ion} = -E_m = GMm/2r$.

EBAUVector campo gravitatorio creado por 2 masas iguales.

En el punto medio se anulan.

HARDDensidad planetaria si $g$ y $R$ son dobles.

$g \propto \rho R$. Si $g$ x2 y $R$ x2, $\rho$ es la misma.

UNIPotencial efectivo.

$U_{eff} = U(r) + L^2/(2mr^2)$. Explica órbitas estables.

EBAUTrabajo para mover carga en equipotencial.

Cero.

HARDVelocidad de escape en un Agujero Negro.

$v_e = c$. Radio de Schwarzschild $R_s = 2GM/c^2$.

EBAUSuperficies equipotenciales alrededor de masa puntual.

Esferas concéntricas.

HARDSatélite frenado brusco (parada). Energía impacto.

Cae vertical. $E_c(impacto) = E_p(R) - E_p(r) = GMm(1/R - 1/r)$.

UNIFuerza marea es proporcional a...

$1/r^3$ (Gradiente del campo).

EBAUDimensiones de G.

$L^3 M^{-1} T^{-2}$ ($N m^2/kg^2$).