Balance de Energía (Bernoulli Generalizado)

Para flujo incompresible en tuberías, considerando máquinas hidráulicas y pérdidas por fricción.

1.1 Ecuación de la Energía

Aplicada entre dos puntos (1 y 2) de una línea de corriente o volumen de control:

$$ \frac{P_1}{\gamma} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} + H_{bomba} = \frac{P_2}{\gamma} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + H_{turbina} + h_L $$
  • $\gamma = \rho g$: Peso específico ($N/m^3$).
  • $H_{bomba}$: Altura manométrica añadida por la bomba ($m$).
  • $h_L$: Pérdidas de carga totales (primarias + secundarias).

1.2 Potencia de una Bomba

La potencia que el fluido recibe ($\dot{W}$) depende del caudal ($Q$) y la altura útil ($H_B$).

$$ \dot{W}_{fluido} = \gamma \cdot Q \cdot H_B $$ $$ \dot{W}_{eje} = \frac{\gamma Q H_B}{\eta} \quad (\eta = \text{Rendimiento}) $$

Teorema del Transporte de Reynolds: Momento Lineal

Fundamental para calcular fuerzas sobre codos, álabes y compuertas. Newton aplicado a fluidos.

$$ \sum \vec{F}_{ext} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \vec{v} \rho dV + \int_{SC} \vec{v} (\rho \vec{v} \cdot d\vec{A}) $$

Para flujo estacionario ($\partial/\partial t = 0$):

La suma de fuerzas (presión + gravedad + reacción mecánica) es igual al flujo neto de cantidad de movimiento.

$$ \sum \vec{F} = \dot{m}_{sal} \vec{v}_{sal} - \dot{m}_{ent} \vec{v}_{ent} $$

OJO: $\sum \vec{F}$ incluye:

  • Fuerzas de Presión sobre las caras de entrada/salida ($P \cdot A$).
  • Peso del fluido en el volumen de control.
  • Fuerza de reacción ($R_x, R_y$) que la tubería ejerce sobre el fluido.

Flujo Real y Pérdidas de Carga

3.1 Número de Reynolds ($Re$)

Determina el régimen de flujo (Laminar o Turbulento).

$$ Re = \frac{\rho v D}{\mu} = \frac{v D}{\nu} $$

Si $Re < 2300$ (Laminar), si $Re > 4000$ (Turbulento).

3.2 Pérdidas Primarias (Darcy-Weisbach)

Válida para cualquier régimen.

$$ h_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} $$

El factor de fricción $f$ se obtiene del Diagrama de Moody o:

  • Laminar: $f = 64/Re$.
  • Turbulento liso: Ec. Blasius.
  • Turbulento rugoso: Ec. Colebrook-White (iterativa).

Problemas de Parcial y Final (30)

Ejercicios tipo examen de ingeniería. Requieren calculadora y diagramas de cuerpo libre.

PARCIAL Tubo Venturi con Manómetro Diferencial: Calcule el caudal de agua si el manómetro de mercurio ($\rho_{Hg}=13.6$) marca $\Delta h = 20$ cm. Diámetros: $D_1=30$ cm, $D_2=15$ cm.

1. Ecuación de Continuidad: $v_1 A_1 = v_2 A_2$. Como $D_1 = 2D_2 \Rightarrow A_1 = 4A_2 \Rightarrow v_2 = 4v_1$.

2. Bernoulli (z iguales): $\frac{P_1 - P_2}{\gamma_w} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} = \frac{15v_1^2}{2g}$.

3. Manometría: $P_1 + \gamma_w h - \gamma_{Hg} \Delta h - \gamma_w (h-\Delta h) = P_2$.
$P_1 - P_2 = (\gamma_{Hg} - \gamma_w) \Delta h = \gamma_w (S_{Hg}-1) \Delta h$.

4. Igualando alturas piezométricas: $\frac{P_1-P_2}{\gamma_w} = (13.6 - 1)(0.2) = 2.52$ m.

5. Despejar v: $2.52 = \frac{15 v_1^2}{19.6} \Rightarrow v_1 = 1.81$ m/s.

6. $Q = v_1 A_1 = 1.81 \cdot \pi (0.15)^2$.

Q = 0.128 m³/s (128 L/s)
FINAL Sistema de Bombeo: Una bomba eleva agua desde un depósito inferior a uno superior ($H_{geo}=40$ m). $Q=50$ L/s. Tubería $L=200$ m, $D=150$ mm, $f=0.02$. Pérdidas secundarias totales $K_{tot}=5$. Eficiencia $\eta=75\%$. Calcule potencia al eje.

1. Velocidad: $v = Q/A = 0.05 / (\pi \cdot 0.075^2) = 2.83$ m/s. Carga velocidad $v^2/2g = 0.41$ m.

2. Pérdidas primarias: $h_f = 0.02 \cdot (200/0.15) \cdot 0.41 = 10.93$ m.

3. Pérdidas secundarias: $h_m = 5 \cdot 0.41 = 2.05$ m.

4. Altura Manométrica Bomba ($H_B$): Bernoulli entre superficies libres ($P=0, v=0$).
$H_B = \Delta z + h_L = 40 + 10.93 + 2.05 = 53$ m.

5. Potencia Hidráulica: $P_h = \gamma Q H_B = 9800 \cdot 0.05 \cdot 53 = 25970$ W.

6. Potencia Eje: $P_{eje} = 25970 / 0.75$.

P = 34.6 kW (46.4 CV)
FINAL Fuerza en Codo Reductor: Codo horizontal de 90º que reduce de $D_1=60$ cm a $D_2=30$ cm. $Q=0.5$ m³/s. $P_1=150$ kPa. Desprecie pérdidas. Calcule la fuerza resultante del fluido sobre el codo.

1. Geometría: Entra en X+, Sale en Y+.
$v_1 = Q/A_1 = 1.77$ m/s. $v_2 = Q/A_2 = 7.07$ m/s.

2. Bernoulli para hallar $P_2$:
$P_1 + 0.5\rho v_1^2 = P_2 + 0.5\rho v_2^2$.
$150000 + 500(1.77^2) = P_2 + 500(7.07^2) \Rightarrow P_2 = 126.6$ kPa.

3. Balance Momento X: $P_1 A_1 - R_x = \rho Q (0 - v_1)$. (Ojo signos).
$150000(0.283) - R_x = 1000(0.5)(-1.77) \Rightarrow R_x = 42450 + 885 = 43335$ N.

4. Balance Momento Y: $R_y - P_2 A_2 = \rho Q (v_2 - 0)$.
$R_y - 126600(0.0707) = 1000(0.5)(7.07) \Rightarrow R_y = 3535 + 8950 = 12485$ N.

5. Fuerza sobre el codo es la reacción: $\vec{F} = R_x \hat{i} - R_y \hat{j}$. (La tubería empuja al fluido, el fluido empuja a la tubería al revés).

F = √(43.3² + 12.5²) = 45.1 kN
ING Chorro contra Placa Inclinada: Un chorro de agua ($D=5$ cm, $v=20$ m/s) golpea una placa plana estacionaria inclinada 30º respecto a la vertical. Calcule la fuerza normal ejercida sobre la placa y la distribución de caudales ($Q_{arriba}, Q_{abajo}$).

1. Ejes: N (normal placa), T (tangencial). Ángulo incidencia $\theta = 60^\circ$ con la placa.

2. Fuerza Normal: $F_n = \rho Q v_{n,in} = \rho (Av) (v \sin 60)$.
$Q = 0.039$ m³/s. $F_n = 1000 \cdot 0.039 \cdot 20 \cdot 0.866 = 675$ N.

3. Caudales: Conservación de masa y Momento en eje T (Fuerza T = 0 si no hay fricción).
$Q_{ent} = Q_1 + Q_2$
$\rho Q_{ent} v \cos 60 = \rho Q_1 v - \rho Q_2 v$ (Velocidad se conserva en módulo).

4. Sistema: $Q_1 + Q_2 = Q$ y $Q_1 - Q_2 = Q \cos 60 = 0.5Q$.
$2Q_1 = 1.5Q \Rightarrow Q_1 = 0.75Q$.

Fn = 675 N ; 75% sube, 25% baja
PARCIAL Régimen y Viscosidad: Aceite ($\rho=900$ kg/m³, $\mu=0.1$ Pa·s) fluye por tubería $D=5$ cm. Si el gradiente de presión es 2000 Pa/m, calcule el caudal y verifique si es laminar.

1. Asumiendo laminar (Hagen-Poiseuille): $\Delta P = \frac{128 \mu L Q}{\pi D^4}$.

2. $\frac{\Delta P}{L} = 2000$. Despejar Q:
$Q = \frac{2000 \pi (0.05)^4}{128 \cdot 0.1} = \frac{2000 \pi (6.25e-6)}{12.8} = 0.00307$ m³/s.

3. Velocidad media: $v = Q/A = 0.00307 / 0.00196 = 1.56$ m/s.

4. Reynolds: $Re = \frac{\rho v D}{\mu} = \frac{900 \cdot 1.56 \cdot 0.05}{0.1} = 702$.

5. Como $702 < 2300$, es laminar. La asunción es correcta.

Q = 3.07 L/s (Laminar)
FINAL Problema de los 3 Depósitos: Dados 3 depósitos conectados a un nodo común J. Conocemos cotas $z_A=100, z_B=80, z_C=60$. Tuberías iguales ($L, D, f$). ¿Hacia dónde fluye el agua en B?

1. Asumir una altura piezométrica en el nodo $H_J$.

2. Si $H_J > z_B$, el agua entra a B. Si $H_J < z_B$, sale de B.

3. Ecuación de continuidad en el nodo: $\sum Q = 0$.

4. Expresar $Q = C \sqrt{|z - H_J|}$.

5. Iterar hasta que el balance de masas sea cero. Problema clásico de examen.

Requiere iteración (Hardy Cross o similar)
ING NPSH y Cavitación.
Para evitar cavitación: $(P_{atm}/\gamma - z_{suc} - h_{f,suc} - P_{vapor}/\gamma) > NPSH_{req}$.
PARCIAL Lectura Manómetro U diferencial.
$P_A - P_B = \Delta h (\gamma_m - \gamma_f)$.
ING Sifón: Altura máxima.
Limitada por la presión de vapor en la cima. $P_{cima} > P_{vapor}$. Aprox 10m agua teóricos.
FINAL Tiempo de vaciado depósito (Torricelli variable).
$t = \int_{h1}^{h2} \frac{A_{tanque}}{-C_d A_{orificio} \sqrt{2gh}} dh$.
PARCIAL Empuje sobre compuerta curva.
Horizontal: Proyección vertical. Vertical: Peso del fluido sobre ella. Resultante pasa por centro curvatura.
ING Golpe de Ariete.
Sobrepresión por cierre rápido. $\Delta P = \rho c \Delta v$. ($c$ = celeridad onda).
FINAL Arrastre (Drag) sobre esfera.
$F_D = 0.5 \rho v^2 A C_D$. Stokes si Re bajo.
PARCIAL Flotabilidad y Estabilidad.
Metacentro $M$ debe estar sobre el centro de gravedad $G$ para estabilidad.
ING Tubo de Pitot.
Mide presión estancamiento. $v = \sqrt{2(P_{est} - P_{estat})/\rho}$.
FINAL Capa Límite (Concepto).
Zona donde los efectos viscosos son importantes. $\delta \propto \sqrt{x}$.
ING Ecuación Euler Turbomáquinas.
$H = (u_2 v_{u2} - u_1 v_{u1}) / g$. Triángulos de velocidad.
PARCIAL Viscosímetro de esfera cayendo.
Equilibrio: Peso = Empuje + Stokes. Despejar $\mu$.
FINAL Tuberías en Paralelo.
$h_L$ es igual en ambas ramas. $Q_{total} = Q_1 + Q_2$.
ING Tuberías en Serie.
$Q$ constante. $h_{L,total} = \sum h_i$.
PARCIAL Presión en pared de tanque acelerado.
La superficie libre se inclina $\tan\theta = -a_x/g$. Distribución hidrostática modificada.
ING Número de Mach.
$Ma = v/c$. Compresibilidad importante si $Ma > 0.3$.
FINAL Teorema de Vaschy-Buckingham ($\pi$).
Análisis dimensional para hallar grupos adimensionales (Re, Fr, We...).
PARCIAL Fuerza sobre álabe móvil.
Usar velocidad relativa $v_{rel} = v_{chorro} - v_{alabe}$ en la ecuación de momento.
ING Radio Hidráulico $R_h$.
$A / P_{mojado}$. En tubería llena $D/4$. Canales abiertos es clave.
FINAL Canal Abierto (Manning).
$v = (1/n) R_h^{2/3} S^{1/2}$. Flujo por gravedad.
PARCIAL Principio de Pascal.
La presión se transmite igual en todas direcciones (Prensas hidráulicas).
ING Potencia de turbina.
$P = \gamma Q H_T \eta$. Extrae energía del fluido.
FINAL Rotacional y Vorticidad.
$\vec{\omega} = \nabla \times \vec{v}$. Si es 0, flujo irrotacional (Potencial).
PARCIAL Paradoja de D'Alembert.
En flujo ideal (no viscoso) la fuerza de arrastre teórica sobre un cuerpo es cero.