Cantidad de Movimiento ($\vec{p}$)
También llamado Momento Lineal. Es una magnitud vectorial que mide la "cantidad de movimiento" de un cuerpo y su inercia al cambio de velocidad.
1.1 Definición Fundamental
$$ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $$
Unidades (SI): $kg \cdot m/s$. Tiene la misma dirección y sentido que la velocidad.
1.2 Segunda Ley de Newton (Forma Real)
Newton no escribió $F=ma$. Escribió que la fuerza es la variación del momento lineal con el tiempo:
$$ \sum \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $$
Si la masa es constante, derivamos y obtenemos $\vec{F} = m \frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{a}$.
Impulso Mecánico ($\vec{I}$)
El impulso mide el efecto de una fuerza aplicada durante un intervalo de tiempo. Es lo que cambia el momento.
2.1 Definición e Integral
$$ \vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) \, dt $$
Si la fuerza es constante (o usamos la fuerza media):
$$ \vec{I} = \vec{F}_{avg} \cdot \Delta t $$
Gráficamente, es el área bajo la curva en un gráfico Fuerza-Tiempo ($F-t$).
2.2 Teorema del Impulso
El impulso neto aplicado a un objeto es igual al cambio en su cantidad de movimiento.
$$ \vec{I}_{neto} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_0 = m(\vec{v}_f - \vec{v}_0) $$
Conservación y Colisiones
3.1 Principio de Conservación
Si la suma de fuerzas externas sobre un sistema es cero ($\sum \vec{F}_{ext} = 0$), el momento lineal total se conserva.
$$ \vec{p}_{antes} = \vec{p}_{despues} $$
$$ m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2 = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 $$
Esto aplica a choques, explosiones y retroceso de armas.
3.2 Tipos de Choques
El coeficiente de restitución ($e$) mide la elasticidad del choque ($0 \le e \le 1$).
$$ e = - \frac{v_{2} - v_{1}}{u_{2} - u_{1}} \quad (\text{Velocidades relativas}) $$
| Tipo | Coeficiente ($e$) | Energía Cinética ($E_k$) | Momento ($\vec{p}$) |
|---|---|---|---|
| Elástico | $e = 1$ | Se conserva | Se conserva |
| Inelástico | $0 < e < 1$ | Se pierde (calor/deformación) | Se conserva |
| Plástico | $e = 0$ (Se pegan) | Máxima pérdida | Se conserva |
Batería de 30 Problemas (By MANEL NIGER)
Ejercicios seleccionados desde nivel Bachillerato hasta Física Universitaria.
EBAU Golpe de Tenis: Una pelota de 60 g llega a 30 m/s y es devuelta a 40 m/s en sentido contrario. El contacto dura 0.01 s. Calcule la Fuerza media.
1. Vectorizar: $v_0 = -30 \hat{i}$, $v_f = +40 \hat{i}$. Masa $m=0.06$ kg.
2. Variación de momento: $\Delta p = m(v_f - v_0) = 0.06(40 - (-30)) = 0.06(70) = 4.2$ kg·m/s.
3. Teorema Impulso: $I = F \Delta t = \Delta p$.
4. $F \cdot 0.01 = 4.2 \Rightarrow F = 420$ N.
F = 420 N
HARD Chorro de Agua: Una manguera lanza agua (densidad $\rho$, área $A$, velocidad $v$) contra una pared vertical. El agua no rebota. Fuerza sobre la pared.
1. En tiempo $\Delta t$, golpea una masa $\Delta m = \rho (A v \Delta t)$.
2. Cambio de velocidad: de $v$ a $0$. $\Delta v = -v$.
3. $\Delta p = \Delta m \Delta v = - \rho A v^2 \Delta t$.
4. Fuerza sobre el agua: $F = \Delta p / \Delta t = -\rho A v^2$.
5. Por acción-reacción, fuerza sobre la pared es positiva.
F = ρ A v²
EBAU Choque Plástico: Un vagón de 10000 kg a 2 m/s choca con otro de 15000 kg en reposo y se enganchan. Velocidad final.
1. Conservación de $p$: $p_{antes} = p_{despues}$.
2. $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f$.
3. $10000(2) + 0 = (25000) v_f$.
4. $20000 = 25000 v_f \Rightarrow v_f = 0.8$ m/s.
v = 0.8 m/s
UNI Choque Elástico ($e=1$): Esfera $m$ a velocidad $v$ choca con esfera $3m$ en reposo. Velocidades finales.
1. Cons. Momento: $mv = mv_1 + 3mv_2 \Rightarrow v = v_1 + 3v_2$ (Ec 1).
2. Coef. Restitución ($e=1$): $v_1 - v_2 = -1(v - 0) \Rightarrow v_2 - v_1 = v$ (Ec 2).
3. Sumar (Ec 1) + (Ec 2): $2v = 4v_2 \Rightarrow v_2 = v/2$.
4. Sustituir en (Ec 2): $v/2 - v_1 = v \Rightarrow v_1 = -v/2$.
v1 = -v/2 ; v2 = v/2
HARD Explosión en el Aire: Proyectil de 20 kg a 100 m/s explota en dos fragmentos. Uno de 5 kg sale verticalmente a 200 m/s. ¿Velocidad del otro?
1. Momento inicial (Eje X): $\vec{P}_0 = 20(100)\hat{i} = 2000\hat{i}$.
2. Fragmento A (5 kg): $\vec{p}_A = 5(200)\hat{j} = 1000\hat{j}$.
3. Fragmento B (15 kg): $\vec{P}_0 = \vec{p}_A + \vec{p}_B \Rightarrow \vec{p}_B = 2000\hat{i} - 1000\hat{j}$.
4. $\vec{v}_B = \vec{p}_B / 15 = (133.3\hat{i} - 66.7\hat{j})$ m/s.
v = 149 m/s (-26.6º)
HARD Choque Billar 2D: Bola A golpea a Bola B (reposo). A sale a 30º y B a -60º. Demuestre que si $m_A=m_B$, el choque fue elástico.
1. Si el ángulo entre ellas es 90º (30 - (-60) = 90), y las masas son iguales...
2. El triángulo de vectores momento forma un triángulo rectángulo ($p_0^2 = p_A^2 + p_B^2$).
3. Si dividimos por $2m$, obtenemos conservación de $E_k$.
4. Conclusión: Choque oblicuo masas iguales a 90º $\iff$ Elástico.
Demostrado
EBAURetroceso Escopeta: Dispara bala 20g a 400 m/s. Arma 4 kg. $v_{retroceso}$.
$0 = 0.02(400) + 4(v) \Rightarrow v = -2$ m/s.
UNIPéndulo Balístico: Altura $h$ tras impacto plástico.
Choque (Cons $p$) + Subida (Cons $E$). $v_{bala} = (1 + M/m)\sqrt{2gh}$.
HARDFuerza variable $F(t) = 2t$. Impulso 0-3s.
$I = \int_0^3 2t dt = [t^2]_0^3 = 9$ N·s.
EBAUSi $E_k$ se conserva, ¿$p$ se conserva?
Sí, $p$ SIEMPRE se conserva en sistemas aislados. $E_k$ solo en elásticos.
EBAUÁrea bajo gráfica F-t.
Impulso mecánico.
UNICohete (Masa Variable). Ec. Tsiolkovsky.
$\Delta v = u_{ex} \ln(m_0/m_f)$.
HARDChoque contra muelle. Compresión máxima.
La $E_k$ del bloque se convierte en $E_{pe}$ del muelle.
EBAUCoche choca contra muro y para vs rebota. ¿Qué duele más?
Rebotar. El cambio de momento ($\Delta p$) es el doble ($mv - (-mv) = 2mv$). Mayor fuerza.
UNICentro de Masas (CM) en choque aislado.
La velocidad del CM permanece constante antes y después del choque.
HARDCaída de cadena sobre balanza. Lectura.
Peso de la cadena depositada + Fuerza de impacto del eslabón que cae ($\lambda v^2$).
EBAUImpulso para parar objeto 2kg a 10 m/s.
$\Delta p = 0 - 20 = -20$ N·s.
EBAU¿Puede un cohete acelerar en el vacío?
Sí. Expulsa gases con momento $p$. El cohete gana $-p$ (3ª Ley Newton).
HARDCoeficiente restitución si rebota a $h/2$.
$e = \sqrt{h_f/h_0} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$.
UNIFuerza promedio de lluvia (granizo vs agua).
Granizo rebota (mayor impulso). Agua salpica/se pega (menor impulso).
EBAUUnidad SI de Momento.
kg·m/s (o N·s).
HARDPatineador lanza pesa 5kg a 10m/s. Él pesa 50kg.
$0 = 5(10) + 50(v_p) \Rightarrow v_p = -1$ m/s.
EBAU¿Momento es escalar o vector?
Vectorial. Importa la dirección.
UNIExplosión en 3 fragmentos coplanarios.
La suma vectorial de los 3 momentos debe ser cero (triángulo cerrado).
HARDFuerza de una ametralladora (N balas/s).
$F_{media} = N \cdot m_{bala} \cdot v_{bala}$.
EBAUChoque frontal inelástico masas iguales.
Si $v$ y $-v$, se detienen ($v_f=0$). Toda $E_k$ perdida.
UNIPéndulo golpeado por martillo ($I$). Altura.
$I = \Delta p = mv_0 \Rightarrow v_0 = I/m$. Luego $0.5mv_0^2 = mgh$.
HARDHombre camina sobre barca sin amarrar.
El CM no se mueve. $m_h \Delta x_h + m_b \Delta x_b = 0$. La barca retrocede.
EBAURelación $E_k$ y $p$.
$E_k = p^2 / 2m$.
UNIChoque con pared móvil (Tenis saque).
Considerar velocidad relativa raqueta-bola para el coeficiente $e$.