Innove La Biblia
La colección más completa de teoría y ejercicios resueltos. Desde la ESO hasta la Universidad.
Fundamentos
Nivel Básico
Concepto
¿Qué es integrar?
La integral es la operación inversa de la derivada. Geométricamente, representa el área bajo la curva de una función.
$$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$
Ejemplos Prácticos
1Potencia
Simple
$\int x^5 \, dx$
Ver Solución
$n=5 \to n+1=6$. Dividimos por 6.
$$ \frac{x^6}{6} + C $$
2Raíz
$\int \sqrt{x} \, dx$
Ver Solución
$x^{1/2} \to x^{3/2} / (3/2)$.
$$ \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C $$
3Constante
$\int 7 \, dx$
Ver Solución
La integral de una constante $k$ es $kx$.
$$ 7x + C $$
Propiedades
Linealidad
La integral de una suma es la suma de las integrales, y las constantes salen fuera.
$$ \int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x)dx + b\int g(x)dx $$
Ejemplos Prácticos
4Polinomio
$\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx$
Ver Solución
Integramos cada término por separado.
$$ x^3 - 2x^2 + 5x + C $$
5Fracción
Simple
$\int (\frac{1}{x^2} + \sqrt[3]{x}) dx$
Ver Solución
$x^{-2} + x^{1/3}$.
$\frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^{4/3}}{4/3}$. $$ -\frac{1}{x} + \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4} + C $$
$\frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^{4/3}}{4/3}$. $$ -\frac{1}{x} + \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4} + C $$
La Biblia de las Integrales
Bachillerato
Tabla Maestra
Inmediatas
Dominar estas es esencial. Reconoce el patrón $f'(x)$.
$$ \int \cos f \cdot f' dx = \sin f $$
$$ \int e^f \cdot f' dx = e^f $$
$$ \int \frac{f'}{f} dx = \ln|f| $$
$$ \int \frac{f'}{1+f^2} dx = \arctan f $$
$$ \int \frac{f'}{\sqrt{1-f^2}} dx = \arcsin f $$
Ejercicios Resueltos
1Logarítmica
$\int \frac{x}{x^2+1} dx$
Ver Solución
Numerador $x$ es casi derivada de $x^2+1$ ($2x$).
$\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} dx$. $$ \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C $$
$\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} dx$. $$ \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C $$
2Exponencial
$\int x e^{x^2} dx$
Ver Solución
Derivada de $x^2$ es $2x$. Ajustamos con $1/2$.
$$ \frac{1}{2}e^{x^2} + C $$
3Arcotangente
$\int \frac{1}{1+4x^2} dx$
Ver Solución
$4x^2 = (2x)^2$. Derivada de $2x$ es $2$.
$\frac{1}{2} \int \frac{2}{1+(2x)^2} dx$. $$ \frac{1}{2}\arctan(2x) + C $$
$\frac{1}{2} \int \frac{2}{1+(2x)^2} dx$. $$ \frac{1}{2}\arctan(2x) + C $$
Método
Cambio de Variable
Sustituir una expresión compleja por $u$ para simplificar la integral.
$$ \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du $$
Ejercicios Resueltos
4Raíz
$\int x\sqrt{x^2+1} \, dx$
Ver Solución
$u=x^2+1 \implies du=2x dx \implies x dx = du/2$.
$\int \sqrt{u} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \frac{u^{3/2}}{3/2}$. $$ \frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C $$
$\int \sqrt{u} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \frac{u^{3/2}}{3/2}$. $$ \frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C $$
5Logaritmo
$\int \frac{\ln x}{x} \, dx$
Ver Solución
$u=\ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$.
$\int u du = \frac{u^2}{2}$. $$ \frac{(\ln x)^2}{2} + C $$
$\int u du = \frac{u^2}{2}$. $$ \frac{(\ln x)^2}{2} + C $$
Método
Integración por Partes
"Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme". Prioridad ALPES para elegir $u$.
$$ \int u \, dv = u v - \int v \, du $$
Ejercicios Resueltos
6Polinomio x
Exp
$\int x e^x \, dx$
Ver Solución
$u=x, dv=e^x dx$.
$$ e^x(x-1) + C $$
7Logaritmo Solo
$\int \ln x \, dx$
Ver Solución
$u=\ln x, dv=dx \implies du=1/x dx, v=x$.
$x\ln x - \int x(1/x) dx = x\ln x - \int dx$. $$ x(\ln x - 1) + C $$
$x\ln x - \int x(1/x) dx = x\ln x - \int dx$. $$ x(\ln x - 1) + C $$
8Cíclica
$\int e^x \cos x \, dx$
Ver Solución
Se integra por partes dos veces y se despeja la integral original $I$.
$$ \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C $$
Técnica
Potencias Trigonométricas
Impares ($\sin^3 x$)
Separa uno y usa $\sin^2+\cos^2=1$.
Pares ($\cos^2 x$)
Usa ángulo doble: $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.
Ejercicios Resueltos
9Potencia Par
$\int \sin^2 x \, dx$
Ver Solución
$\int \frac{1-\cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\frac{\sin 2x}{2}$.
$$ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C $$
10Potencia
Impar
$\int \cos^3 x \, dx$
Ver Solución
$\int \cos^2 x \cdot \cos x dx = \int (1-\sin^2 x)\cos x dx$.
Cambio $u=\sin x$. $$ \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C $$
Cambio $u=\sin x$. $$ \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C $$
Método
Racionales
Si grado Num $\ge$ grado Den, DIVIDE PRIMERO.
Luego, descomposición en fracciones simples.
- Raíces Reales Simples: $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$
- Raíces Múltiples: $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$
Ejercicios Resueltos
11Raíces
Simples
$\int \frac{1}{x^2-4} dx$
Ver Solución
$\frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1/4}{x-2} - \frac{1/4}{x+2}$.
$$ \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C $$
12Con División
$\int \frac{x^2}{x+1} dx$
Ver Solución
Dividimos: $x^2 = (x+1)(x-1) + 1$.
$\int (x-1 + \frac{1}{x+1}) dx$. $$ \frac{x^2}{2} - x + \ln|x+1| + C $$
$\int (x-1 + \frac{1}{x+1}) dx$. $$ \frac{x^2}{2} - x + \ln|x+1| + C $$
Aplicación
Cálculo de Áreas
Área encerrada entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$.
$$ A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx $$
Ejercicios Resueltos
13Parábola y
Recta
Área entre $y=x^2$ y $y=x$
Ver Solución
Corte en $x=0, x=1$.
$\int_0^1 (x - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1$. $$ \frac{1}{6} \text{ u}^2 $$
$\int_0^1 (x - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1$. $$ \frac{1}{6} \text{ u}^2 $$
Cálculo I
Syllabus Oficial
1.3
Riemann & Barrow
Integral de Riemann
$$ \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x
$$
Regla de Barrow
Si $F'(x) = f(x)$, entonces $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.
1.4
Aplicaciones
1.4.1 Cálculo de Áreas
Área entre curvas: $\int_a^b [f(x)_{arriba} - g(x)_{abajo}] dx$.
1.4.2 Volúmenes de Revolución
$$ V = \pi \int_a^b ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) dx $$
1.4.3 Longitud de Arco
$$ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $$
Ejercicios Resueltos
1Volumen
$V$ de $y=\sqrt{x}$ en $[0,4]$ eje X
Ver Solución
$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^4 x dx$.
$= \pi [\frac{x^2}{2}]_0^4 = \pi(8)$. $$ 8\pi \text{ u}^3 $$
$= \pi [\frac{x^2}{2}]_0^4 = \pi(8)$. $$ 8\pi \text{ u}^3 $$
2Longitud Arco
$L$ de $y=x^{3/2}$ en $[0,1]$
Ver Solución
$y' = \frac{3}{2}x^{1/2} \implies (y')^2 = \frac{9}{4}x$.
$\int_0^1 \sqrt{1+\frac{9}{4}x} dx$. $$ \frac{8}{27}(13\sqrt{13}-8) $$
$\int_0^1 \sqrt{1+\frac{9}{4}x} dx$. $$ \frac{8}{27}(13\sqrt{13}-8) $$
1.5
Integrales Impropias
1.5.1 Primera Especie (Intervalo Infinito)
$$ \int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx $$
Converge si $p > 1$.
1.5.2 Segunda Especie (Discontinuidad)
$$ \int_0^1 \frac{1}{x^p} dx $$
Converge si $p < 1$.
Ejercicios Resueltos
3Convergencia
$\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx$
Ver Solución
$p=2 > 1$, por tanto converge.
Valor: $[-1/x]_1^\infty = 0 - (-1) = 1$. $$ 1 $$
Valor: $[-1/x]_1^\infty = 0 - (-1) = 1$. $$ 1 $$
Extra
Sustitución Trigonométrica
Para integrales con raíces cuadradas de sumas/restas de cuadrados.
- $\sqrt{a^2-x^2} \to x = a\sin\theta$
- $\sqrt{a^2+x^2} \to x = a\tan\theta$
Ejercicios Resueltos
4Caso Seno
$\int \sqrt{9-x^2} \, dx$
Ver Solución
$x=3\sin\theta, dx=3\cos\theta d\theta$.
$\int \sqrt{9-9\sin^2\theta} \cdot 3\cos\theta d\theta = 9\int \cos^2\theta d\theta$. $$ \frac{9}{2}(\arcsin(x/3) + \frac{x\sqrt{9-x^2}}{9}) + C $$
$\int \sqrt{9-9\sin^2\theta} \cdot 3\cos\theta d\theta = 9\int \cos^2\theta d\theta$. $$ \frac{9}{2}(\arcsin(x/3) + \frac{x\sqrt{9-x^2}}{9}) + C $$
Cálculo II
Multivariable & Vectorial
3D
Integrales Dobles
Volumen bajo una superficie. Teorema de Fubini para iterar.
$$ \iint_D f(x,y) dA $$
Coordenadas Polares
No olvidar el Jacobiano $r$.
$$ \iint_D f(r,\theta) r \, dr d\theta $$
Ejercicios Resueltos
1Rectángulo
$\int_0^1 \int_0^2 xy \, dy dx$
Ver Solución
$\int_0^2 y dy = 2$. Luego $\int_0^1 x(2) dx = [x^2]_0^1$.
$$ 1 $$
2Polares
$\iint_{x^2+y^2 \le 1} 1 \, dA$
Ver Solución
Área del círculo unitario.
$\int_0^{2\pi} \int_0^1 r dr d\theta = 2\pi [\frac{r^2}{2}]_0^1$. $$ \pi $$
$\int_0^{2\pi} \int_0^1 r dr d\theta = 2\pi [\frac{r^2}{2}]_0^1$. $$ \pi $$
Física
Campos Vectoriales
Integral de Línea
Trabajo $W = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$.
Teorema de Green
$$ \oint_C P dx + Q dy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} -
\frac{\partial P}{\partial y}) dA $$
Ejercicios Resueltos
3Trabajo
$\vec{F}=(y, -x)$ en círculo unitario
Ver Solución
Parametrizamos $r(t)=(\cos t, \sin t)$.
$\int_0^{2\pi} (\sin t, -\cos t) \cdot (-\sin t, \cos t) dt$.
$\int_0^{2\pi} -1 dt$. $$ -2\pi $$
$\int_0^{2\pi} (\sin t, -\cos t) \cdot (-\sin t, \cos t) dt$.
$\int_0^{2\pi} -1 dt$. $$ -2\pi $$