Campo Magnético y Fuerza de Lorentz

Una carga en movimiento dentro de un campo magnético $\vec{B}$ experimenta una fuerza perpendicular a su velocidad.

1.1 Ley de Lorentz

$$ \vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}) $$

Módulo: $F = |q| v B \sin\theta$.

Regla de la Mano Derecha:
1. Dedos en dirección de $\vec{v}$.
2. Girar hacia $\vec{B}$.
3. Pulgar indica $\vec{F}$ (para carga positiva). Invertir si es negativa.

1.2 Movimiento de Cargas (Ciclotrón)

Si $\vec{v} \perp \vec{B}$, la fuerza es centrípeta y la partícula describe un MCU.

$$ qvB = m \frac{v^2}{R} \Rightarrow R = \frac{mv}{qB} $$ $$ T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{qB} \quad (\text{Periodo}) $$

1.3 Fuerza sobre una Corriente

Si en lugar de una carga tenemos muchas (un cable de longitud $\vec{L}$):

$$ \vec{F} = I (\vec{L} \times \vec{B}) $$

Creación de Campos Magnéticos

Las cargas en movimiento (corrientes) crean campos magnéticos a su alrededor. Ley de Biot-Savart y Ampère.

2.1 Hilo Infinito

Campo creado por una corriente $I$ a una distancia $r$. Líneas circulares.

$$ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $$

$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \, T \cdot m/A$ (Permeabilidad del vacío).

2.2 Espira y Solenoide

Centro de una Espira (radio $R$): $$ B = \frac{\mu_0 I}{2R} $$
Interior de un Solenoide (N espiras, longitud L): $$ B = \mu_0 \frac{N}{L} I = \mu_0 n I $$

2.3 Ley de Ampère

La circulación del campo magnético a lo largo de una línea cerrada es proporcional a la corriente que atraviesa la superficie.

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{encerrada} $$

Inducción Electromagnética

Un campo magnético variable genera electricidad. Es la base de generadores y transformadores.

3.1 Flujo Magnético ($\Phi$)

Medida del número de líneas de campo que atraviesan una superficie.

$$ \Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot S \cdot \cos\theta $$

Unidad: Weber (Wb).

3.2 Ley de Faraday-Lenz

La Fuerza Electromotriz (FEM, $\varepsilon$) inducida es igual a la rapidez de cambio del flujo.

$$ \varepsilon = - N \frac{d\Phi}{dt} $$

Ley de Lenz (Signo menos): La corriente inducida tiene un sentido tal que se opone a la variación de flujo que la produce.

Batería de 30 Problemas (MANEL NIGER)

Ejercicios desde nivel Bachillerato hasta Física Universitaria.

EBAU Ciclotrón: Un protón entra perpendicularmente en un campo $B=0.5$ T con velocidad $v=2 \cdot 10^6$ m/s. Calcule el radio de la órbita y el periodo. ($m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ kg).

1. Igualar fuerza magnética a centrípeta: $qvB = m v^2 / R$. 2. $R = \frac{mv}{qB} = \frac{1.67\cdot 10^{-27} \cdot 2\cdot 10^6}{1.6\cdot 10^{-19} \cdot 0.5}$. 3. $R = \frac{3.34\cdot 10^{-21}}{8\cdot 10^{-20}} = 0.04175$ m = 4.18 cm. 4. $T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi \cdot 0.0418}{2\cdot 10^6} = 1.31 \cdot 10^{-7}$ s.

R = 4.18 cm ; T = 131 ns

HARD Selector de Velocidades: Un haz de electrones atraviesa sin desviarse una región con campos cruzados $E=2000$ V/m y $B=0.05$ T. Calcule la velocidad. Si se apaga el campo eléctrico, ¿qué radio tendrá la órbita?

1. Sin desviación: $\vec{F}_E + \vec{F}_m = 0 \Rightarrow qE = qvB \Rightarrow v = E/B$. 2. $v = 2000 / 0.05 = 40,000$ m/s. 3. Si $E=0$, solo actúa $B$. $R = \frac{mv}{qB}$. 4. $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ kg. 5. $R = \frac{9.11\cdot 10^{-31} \cdot 40000}{1.6\cdot 10^{-19} \cdot 0.05} = 4.55 \cdot 10^{-6}$ m.

v = 40 km/s ; R = 4.55 µm

EBAU Dos Hilos Paralelos: Dos conductores rectilíneos verticales transportan corrientes $I_1=2$ A (arriba) e $I_2=5$ A (arriba) separados 10 cm. Calcule el campo magnético en el punto medio.

1. Punto medio $r = 0.05$ m. 2. Regla mano derecha: $B_1$ entra (x), $B_2$ sale (•). Se restan. 3. $B_1 = \frac{4\pi\cdot 10^{-7} \cdot 2}{2\pi \cdot 0.05} = \frac{4\cdot 10^{-7}}{0.05} = 8 \cdot 10^{-6}$ T. 4. $B_2 = \frac{4\pi\cdot 10^{-7} \cdot 5}{2\pi \cdot 0.05} = \frac{10\cdot 10^{-7}}{0.05} = 20 \cdot 10^{-6}$ T. 5. $B_{neto} = |B_1 - B_2| = 12 \cdot 10^{-6}$ T (Saliente, manda $I_2$).

B = 12 µT (Saliente)

UNI Espira Cuadrada: Calcule el campo magnético en el centro de una espira cuadrada de lado $L$ que transporta corriente $I$.

1. El campo es la suma de 4 segmentos finitos de longitud $L$. Distancia al centro $d=L/2$. 2. Fórmula hilo finito: $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin\theta_1 + \sin\theta_2)$. 3. Ángulos $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$. $\sin 45 = \sqrt{2}/2$. 4. $B_{seg} = \frac{\mu_0 I}{4\pi (L/2)} (\sqrt{2})$. 5. Total $B = 4 \cdot B_{seg} = 4 \cdot \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{2\pi L} = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L}$.

B = (2√2 μ₀ I) / (π L)

HARD Varilla Móvil: Una varilla de 20 cm se mueve a 5 m/s sobre raíles en forma de U dentro de un campo $B=0.4$ T perpendicular. Si la resistencia del circuito es $2 \Omega$, calcule la fuerza necesaria para mantener la velocidad.

1. FEM Inducida: $\varepsilon = B L v = 0.4 \cdot 0.2 \cdot 5 = 0.4$ V. 2. Corriente: $I = \varepsilon / R = 0.4 / 2 = 0.2$ A. 3. Fuerza Magnética (Frenado): $F_m = I L B = 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.4 = 0.016$ N. 4. Para mantener $v$ constante, $F_{ext} = F_m$. Potencia disipada $P = I^2 R = 0.08$ W. Potencia mecánica $P = F \cdot v = 0.016 \cdot 5 = 0.08$ W. (Coinciden).

F = 0.016 N

EBAU Bobina Giratoria (AC): Una bobina de 100 espiras y área $0.01$ m² gira a 50 Hz en un campo $B=0.5$ T. Escriba la expresión de la FEM inducida.

1. Flujo: $\Phi = N B S \cos(\omega t)$. 2. $\omega = 2\pi f = 100\pi$ rad/s. 3. $\Phi(t) = 100 \cdot 0.5 \cdot 0.01 \cdot \cos(100\pi t) = 0.5 \cos(100\pi t)$. 4. FEM: $\varepsilon = -d\Phi/dt = -0.5 \cdot (-100\pi) \sin(100\pi t)$. 5. $\varepsilon_{max} = 50\pi \approx 157$ V.

ε(t) = 157 sen(100πt) V

EBAUTrabajo de la fuerza magnética sobre una carga.

CERO. La fuerza es perpendicular a la velocidad. No cambia la energía cinética.

HARDCampo en el interior de un conductor cilíndrico grueso (radio R).

Ley de Ampère. $B(r) = (\mu_0 I r) / (2\pi R^2)$. Crece linealmente.

UNIMomento dipolar magnético de un átomo (Modelo Bohr).

$\mu = I \cdot S = (ev/2\pi r)(\pi r^2) = evr/2$. Relacionado con el espín.

EBAUDefinición de Amperio (basada en fuerza).

Corriente que en dos hilos paralelos separados 1m produce una fuerza de $2 \cdot 10^{-7}$ N/m.

HARDInductancia de un solenoide ($N, L, S$).

$L = \mu_0 N^2 S / l$. Depende solo de la geometría.

EBAUSentido corriente inducida (Imán acercándose).

Si el Norte se acerca, la espira crea un Norte para repelerlo (Lenz).

UNIEcuación de onda electromagnética en vacío.

$\nabla^2 E = \mu_0 \varepsilon_0 \partial^2 E / \partial t^2$. Velocidad $c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$.

HARDToroide: Campo magnético en su interior.

$B = \mu_0 N I / (2\pi r)$. Es variable con el radio, no uniforme.

EBAUFuerza entre dos hilos con corrientes opuestas.

Repulsiva. (Corrientes paralelas se atraen, antiparalelas se repelen).

HARDEnergía almacenada en bobina 2H a 3A.

$U = 0.5 L I^2 = 0.5 \cdot 2 \cdot 9 = 9$ J.

UNIEfecto Hall: Voltaje transversal.

$V_H = I B / (n q t)$. Sirve para medir B o densidad de portadores $n$.

EBAU¿Existen monopolos magnéticos?

No se han observado. $\oint B \cdot dS = 0$. Las líneas de B son cerradas.

HARDMomento de fuerza (Torque) sobre espira rectangular.

$\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$. Módulo $\tau = N I S B \sin\theta$.

EBAUMaterial ferromagnético vs paramagnético.

Ferro: $\mu \gg \mu_0$ (Hierro). Para: $\mu > \mu_0$ (Aluminio). Dia: $\mu < \mu_0$.

UNICorriente de desplazamiento (Maxwell).

$I_d = \varepsilon_0 d\Phi_E/dt$. Explica B entre placas de un condensador.

HARDElectrón acelerado por 100V entra en B. Radio.

$0.5mv^2 = qV \Rightarrow v$. Luego $R = mv/qB$.

EBAUUnidad de Campo Magnético.

Tesla (T). $1 T = 10^4$ Gauss.

HARDAutoinducción al abrir un interruptor.

La corriente cae rápido ($dI/dt$ grande), $\varepsilon = -L dI/dt$ muy grande (chispa).

UNIFuerza magnética sobre un dipolo no uniforme.

Si B no es uniforme, $F = \nabla (\vec{\mu} \cdot \vec{B})$.

EBAUPermeabilidad relativa $\mu_r$.

$\mu = \mu_r \mu_0$. Indica cuánto se magnetiza el material.

HARDEspectrómetro: Separación de isótopos.

$R \propto \sqrt{m}$ (si entran con misma E) o $R \propto m$ (si entran con misma v).

UNITransformador ideal.

$V_1/V_2 = N_1/N_2 = I_2/I_1$. Conserva potencia.

EBAU¿B es conservativo?

No. Su circulación no es cero (Ley de Ampère). No deriva de un potencial escalar.

HARDCampo terrestre y auroras.

El campo desvía partículas cargadas (viento solar) hacia los polos (espirales).