La "Fuerza" Centrípeta no existe
Es un error común. La fuerza centrípeta no es una fuerza nueva, es la resultante de las fuerzas reales que apuntan al centro. Aplicamos la 2ª Ley de Newton en el eje normal.
1.1 Ecuación Fundamental
$$ \sum F_n = m \cdot a_n = m \frac{v^2}{R} = m \omega^2 R $$
- Tensión: En una cuerda giratoria.
- Normal: En un "Looping" o rizo.
- Rozamiento: En una curva plana de carretera.
- Gravitación: En satélites.
1.2 Ejes de Coordenadas Intrínsecos
Para resolver estos problemas, siempre dibujamos dos ejes:
- Eje Tangencial: $\sum F_t = m \cdot a_t$. (Responsable de que la velocidad aumente o disminuya).
- Eje Normal (Radial): $\sum F_n = m \cdot v^2/R$. (Apunta siempre al centro).
Dinámica de Curvas y Peraltes
2.1 Curva Plana (Sin peralte)
La única fuerza que empuja al coche hacia el centro es el rozamiento estático.
$$ F_{roz} = m \frac{v^2}{R} \quad \Rightarrow \quad \mu mg = m \frac{v^2}{R} $$
$$ v_{max} = \sqrt{\mu g R} $$
2.2 Curva Peraltada (Sin rozamiento)
Inclinamos la carretera un ángulo $\theta$. La Normal se inclina y su componente horizontal hace de fuerza centrípeta.
$$ N \sin\theta = m \frac{v^2}{R} $$
$$ N \cos\theta = mg $$
$$ \tan\theta = \frac{v^2}{Rg} \quad (\text{Velocidad óptima}) $$
Si hay rozamiento Y peralte, el problema se complica (ver Ejercicios Hard). La fuerza de rozamiento ayuda a no deslizar ni hacia arriba ni hacia abajo.
Movimiento en el Plano Vertical
Aquí la velocidad NO es constante (la gravedad frena al subir y acelera al bajar). Usamos Conservación de Energía + Dinámica.
3.1 Punto Más Alto (A)
La Normal (o Tensión) y el Peso apuntan hacia abajo (hacia el centro).
$$ N_A + mg = m \frac{v_A^2}{R} $$
Condición de "No caerse" (Velocidad Mínima)
El límite es cuando la cuerda se destensa o el coche deja de tocar el rail: $N = 0$.
$$ mg = m \frac{v_{min}^2}{R} \quad \Rightarrow \quad v_{min} = \sqrt{Rg} $$
3.2 Punto Más Bajo (B)
La Normal apunta al centro (arriba), el Peso hacia fuera (abajo).
$$ N_B - mg = m \frac{v_B^2}{R} \quad \Rightarrow \quad N_B = mg + m \frac{v_B^2}{R} $$
Es el punto de máxima tensión/fuerza g.
3.3 Relación Energética
Para relacionar velocidades arriba y abajo:
$$ \frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2R) $$
Batería de 30 Problemas (Reto Matemático)
Requiere calculadora científica. Problemas de optimización, bucles y sistemas de fuerzas.
EBAU Péndulo Cónico: Una masa de 2 kg gira atada a una cuerda de 1 m formando un ángulo de 30º con la vertical. Calcule la Tensión y la velocidad lineal.
1. Eje Y: $T \cos 30 = mg \Rightarrow T = \frac{2 \cdot 9.8}{\cos 30} = 22.63 \text{ N}$.
2. Eje X (Radial): $T \sin 30 = m \frac{v^2}{R}$.
3. Radio de giro: $R = L \sin 30 = 1 \cdot 0.5 = 0.5 \text{ m}$.
4. Sustituyendo: $22.63 \cdot 0.5 = 2 \cdot \frac{v^2}{0.5} \Rightarrow 11.315 = 4v^2$.
5. $v = \sqrt{2.82} \approx 1.68 \text{ m/s}$.
T = 22.6 N ; v = 1.68 m/s
HARD Velocidad Máxima en Peralte con Rozamiento: Curva de $R=50$ m, peralte $\theta=15^\circ$, coef. rozamiento $\mu=0.4$. Calcule la velocidad máxima para no derrapar hacia fuera.
1. Fuerzas en eje radial (hacia el centro): $N\sin\theta + F_r\cos\theta = m v^2/R$.
2. Fuerzas en eje vertical (equilibrio): $N\cos\theta - F_r\sin\theta = mg$.
3. Al límite: $F_r = \mu N$. Sustituimos en (2): $N(\cos 15 - 0.4\sin 15) = mg \Rightarrow N = \frac{mg}{0.862}$.
4. Sustituimos en (1): $N(\sin 15 + 0.4\cos 15) = m v^2/R \Rightarrow N(0.645) = m v^2/R$.
5. Dividiendo (1)/(2): $\frac{v^2}{Rg} = \frac{\sin\theta + \mu\cos\theta}{\cos\theta - \mu\sin\theta} = \frac{0.645}{0.862} = 0.748$.
6. $v = \sqrt{0.748 \cdot 50 \cdot 9.8} = \sqrt{366.5}$.
v = 19.1 m/s (68.9 km/h)
UNI El Rizo de la Muerte: Se deja caer un coche de montaña rusa desde una altura $H$. El rizo tiene radio $R=10$ m. Calcule la altura mínima $H$ para que no se caiga en el punto más alto (sin rozamiento).
1. Condición crítica arriba (C): $N=0$. $\sum F = mg = m v_C^2/R \Rightarrow v_C^2 = Rg$.
2. Conservación Energía (Salida A $\to$ Cima C): $E_A = E_C$.
3. $mgH = mg(2R) + \frac{1}{2}mv_C^2$.
4. $gH = 2gR + \frac{1}{2}(Rg) = 2.5 gR$.
5. $H = 2.5 R = 2.5 \cdot 10 = 25 \text{ m}$.
H_min = 25 m
HARD Tensión Variable: Una piedra de 1 kg gira en un plano vertical con cuerda de 1 m. Si en el punto más bajo la velocidad es 10 m/s, calcule la tensión de la cuerda en ese punto y en el punto más alto.
1. Punto Bajo (B): $T_B - mg = m v_B^2 / R$.
$T_B = 1(9.8) + 1(100)/1 = 9.8 + 100 = 109.8 \text{ N}$. 2. Velocidad Punto Alto (A): Energía. $\frac{1}{2}v_B^2 = \frac{1}{2}v_A^2 + g(2R)$.
$50 = 0.5 v_A^2 + 9.8(2) \Rightarrow 50 = 0.5 v_A^2 + 19.6 \Rightarrow v_A^2 = 60.8$. 3. Tensión Punto Alto (A): $T_A + mg = m v_A^2 / R$.
$T_A = \frac{1 \cdot 60.8}{1} - 9.8 = 60.8 - 9.8 = 51 \text{ N}$.
$T_B = 1(9.8) + 1(100)/1 = 9.8 + 100 = 109.8 \text{ N}$. 2. Velocidad Punto Alto (A): Energía. $\frac{1}{2}v_B^2 = \frac{1}{2}v_A^2 + g(2R)$.
$50 = 0.5 v_A^2 + 9.8(2) \Rightarrow 50 = 0.5 v_A^2 + 19.6 \Rightarrow v_A^2 = 60.8$. 3. Tensión Punto Alto (A): $T_A + mg = m v_A^2 / R$.
$T_A = \frac{1 \cdot 60.8}{1} - 9.8 = 60.8 - 9.8 = 51 \text{ N}$.
Tb = 109.8 N ; Ta = 51 N
UNI El Rotor (Gravitron): Cilindro de $R=3$ m gira. Una persona se queda pegada a la pared sin suelo. Si $\mu_s = 0.4$, ¿cuál es la velocidad angular mínima $\omega$?
1. Fuerzas: Normal $N$ hacia el centro. Peso $mg$ hacia abajo. Rozamiento $F_r$ hacia arriba (evita caer).
2. Radial: $N = m \omega^2 R$. Vertical: $F_r = mg$.
3. Condición límite: $F_r = \mu N$. $\mu (m \omega^2 R) = mg$.
4. $\omega^2 = g / (\mu R) = 9.8 / (0.4 \cdot 3) = 8.16$.
5. $\omega = \sqrt{8.16} \approx 2.86 \text{ rad/s}$.
ω = 2.86 rad/s (27 rpm)
HARD Coche en un Baden (Puente convexo): Radio 20 m. ¿A qué velocidad máxima puede pasar el coche por la cima sin despegarse del suelo?
1. Fuerzas en la cima: Peso ($mg$) abajo, Normal ($N$) arriba. Centro de curvatura está ABAJO.
2. $\sum F_n = mg - N = m v^2/R$.
3. Condición de despegue: $N=0$ (pierde contacto).
4. $mg = m v^2/R \Rightarrow v = \sqrt{Rg}$.
5. $v = \sqrt{20 \cdot 9.8} = \sqrt{196} = 14 \text{ m/s}$.
v_max = 14 m/s (50.4 km/h)
EBAUSatélite geoestacionario: Calcular radio de órbita (T=24h).
$G M m / r^2 = m \omega^2 r \Rightarrow r^3 = GM / \omega^2$. $\omega = 7.27e-5$. $r \approx 42200 \text{ km}$.
UNIÁngulo de cuerda: Esfera gira colgada del techo. Si $v$ aumenta, ¿qué pasa con el ángulo?
$\tan\theta = v^2/Rg$. Si $v$ sube, $\theta$ sube (la cuerda se pone más horizontal).
HARDTensión de ruptura: Cuerda aguanta 50 N. Masa 0.5 kg, R=1m. Giro horizontal. $v_{max}$?
$T = m v^2/R \Rightarrow 50 = 0.5 v^2/1 \Rightarrow v^2=100 \Rightarrow v=10 \text{ m/s}$.
UNINormal en función del ángulo $\theta$ en un Loop (desde abajo).
$N(\theta) = mg(3\cos\theta + 2) + mv_0^2/R$. (Usando energías).
EBAUFuerza centrífuga: ¿Es real?
No en sistemas inerciales. Es una fuerza ficticia que aparece solo en sistemas de referencia rotatorios (no inerciales).
HARDEsquiador en un rizo de hielo (sin rozamiento). Altura mínima para completar el rizo.
Mismo caso que la montaña rusa: $H = 2.5 R$.
EBAUCurva plana helada ($\mu=0$). ¿Se puede tomar?
No. Si $\mu=0$ y no hay peralte, $F_c=0$. El coche sigue recto por inercia (se sale).
UNIGravedad artificial en estación espacial (R=100m). $\omega$?
$a_n = g \Rightarrow \omega^2 R = 9.8 \Rightarrow \omega = \sqrt{0.098} \approx 0.31 \text{ rad/s}$.
HARDCubo de agua girando verticalmente. ¿Se cae el agua arriba?
No, si $a_n \ge g$. El agua "cae" más despacio de lo que el cubo gira.
EBAUCoche en una hondonada (cóncavo) a velocidad $v$. ¿Cuánto vale la Normal?
$N - mg = m v^2/R \Rightarrow N = m(g + v^2/R)$. (Te sientes más pesado).
HARDFuerza lateral en conductor (m=70kg) en curva (v=20m/s, R=100m).
$F_c = 70 \cdot 400 / 100 = 280 \text{ N}$. La puerta empuja al conductor.
UNIPéndulo cónico: Periodo $T$ en función del ángulo $\theta$ y longitud $L$.
$T = 2\pi \sqrt{L \cos\theta / g}$.
EBAUSi el radio se duplica a igual velocidad, ¿la fuerza necesaria?
$F = m v^2 / R$. Si $R$ dobla, la fuerza se reduce a la mitad.
HARDTensión en la parte baja vs alta en giro vertical (v constante, motor).
$T_{bajo} = mv^2/R + mg$. $T_{alto} = mv^2/R - mg$. Diferencia $2mg$.
EBAUTrabajo de la fuerza centrípeta en una vuelta.
CERO. La fuerza es siempre perpendicular al desplazamiento ($W = \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0$).
UNIVelocidad de escape desde órbita circular.
$v_{esc} = \sqrt{2} \cdot v_{orbital}$.
HARDMoto en globo de la muerte. $R=4$m. Velocidad mínima arriba.
$v = \sqrt{Rg} = \sqrt{39.2} \approx 6.26 \text{ m/s}$.
EBAU¿Por qué las curvas de alta velocidad tienen peralte?
Para que la Normal ayude a la fuerza centrípeta, reduciendo la dependencia del rozamiento.
UNIMoneda en tocadiscos. $r=10$cm, $\mu=0.3$. $\omega_{max}$?
$\mu mg = m \omega^2 r \Rightarrow \omega = \sqrt{0.3 \cdot 9.8 / 0.1} = \sqrt{29.4} \approx 5.4 \text{ rad/s}$.
HARDCuerda se rompe a 100 N. Masa 2kg gira vertical. ¿Dónde rompe?
En el punto más bajo, donde la tensión es máxima ($T = F_c + mg$).
EBAUAceleración tangencial en MCU.
Cero. El módulo de la velocidad es constante.
HARDAvión haciendo un rizo. Piloto $m=80$kg. Arriba $v=200$m/s, $R=1000$m. Fuerza asiento.
$N + mg = m v^2/R \Rightarrow N = 80(40000/1000) - 80(9.8) = 3200 - 784 = 2416 \text{ N}$.
UNIÁngulo de peralte óptimo para $v=100$ km/h, $R=200$m.
$v=27.7$. $\tan\theta = 27.7^2 / (200 \cdot 9.8) = 0.39 \Rightarrow \theta \approx 21.3^\circ$.
EBAURelación entre fuerza gravitatoria y centrípeta en órbita.
La fuerza gravitatoria ES la fuerza centrípeta. $F_g = F_c$.