Ejemplos resueltos (10)

1. Identifica grado y coeficiente principal en 5x³ − 2x + 7.

   Grado 3; coeficiente principal 5.
2. ¿Es 3x⁻² + 1 un polinomio?

   No; los exponentes deben ser enteros no negativos.
3. Escribe en forma estándar: 4 − x + 2x³ + x².

   2x³ + x² − x + 4.
4. Cuenta términos en −3x² + 6x − 1.

   Tres términos (trinomio).
5. Monomio de grado 0.

   Cualquier constante ≠ 0; p.ej., 9.
6. ¿Qué polinomio tiene grado indefinido?

   El polinomio nulo (todos coeficientes 0).
7. Completa: 7x² + __x + 5 tiene 2 raíces reales si…

   …su discriminante b²−4ac > 0; aquí a=7, c=5.
8. Coeficiente de x en 9 − 4x + x³.

   −4.
9. ¿Qué término falta en 6x³ + 0x² + 5?

   El término en x (coeficiente 0).
10. Clasifica: 8x − 3.

    Binomio de grado 1 (lineal).

Ejemplos resueltos (10)

1. (3x² + x − 4) + (−x² + 5x + 7)

   2x² + 6x + 3.
2. (2x³ − x + 1) − (x³ + 3x − 5)

   x³ − 4x + 6.
3. (x + 2)(x + 5)

   x² + 7x + 10.
4. (2x − 3)(x − 4)

   2x² − 11x + 12.
5. (x − 6)²

   x² − 12x + 36.
6. (x + 3)(x² − x + 2)

   x³ + 2x² − x + 6.
7. (2x + 1)(3x² − x + 4)

   6x³ + x² + 7x + 4.
8. Ordena y simplifica: 4x − 3 + 2x² − x + 5

   2x² + 3x + 2.
9. (x − 1)(x + 1)

   x² − 1 (diferencia de cuadrados).
10. Producto de un monomio: 3x(2x² − x + 5)

    6x³ − 3x² + 15x.

Ejemplos resueltos (6)

1. Expande (3x − 2)²

   9x² − 12x + 4.
2. Factoriza x² − 49

   (x − 7)(x + 7).
3. Expande (x + 4)³

   x³ + 12x² + 48x + 64.
4. Factoriza 9x² − 24x + 16

   (3x − 4)².
5. Simplifica (x + 2)² − (x − 2)²

   4x·2 = 8x (por a²−b²).
6. Completa cuadrado: x² + 6x + 5

   (x + 3)² − 4.

Ejemplos resueltos (8)

1. 3x² + 6x

   3x(x + 2) (factor común).
2. ax + ay

   a(x + y).
3. x² + 5x + 6

   (x + 2)(x + 3) (buscar dos números con suma 5 y producto 6).
4. 2x² + 7x + 3

   (2x + 1)(x + 3).
5. x³ + 3x² + x + 3

   Grupo: (x³ + 3x²) + (x + 3) = x²(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(x² + 1).
6. 4x² − 25

   (2x − 5)(2x + 5).
7. x² − 10x + 25

   (x − 5)².
8. x³ − x

   x(x − 1)(x + 1).

Ejemplos resueltos (6)

1. p(x)=x² − 4x + 3. Calcula p(2).

   4 − 8 + 3 = −1.
2. ¿Es 3 raíz de x² − 5x + 6?

   9 − 15 + 6 = 0 ⇒ sí; factor (x − 3).
3. Raíces de x² − 9

   ±3.
4. Multiplicidad de la raíz 2 en (x − 2)²(x + 1)

   2 tiene multiplicidad 2.
5. ¿Cuántas raíces reales puede tener un polinomio cúbico?

   1 o 3 (contando multiplicidades siempre 3 complejas).
6. Grafica mentalmente y= (x − 1)²

   Toca el eje x en x=1 (mínimo) y no lo atraviesa.

Ejercicios propuestos (20) — con solución

1. Simplifica: (2x² − 3x + 1) + (x² + 5x − 4)

   3x² + 2x − 3.
2. Multiplica: (x − 7)(x + 2)

   x² − 5x − 14.
3. Factoriza: x² + x − 12

   (x + 4)(x − 3).
4. Evalúa p(−1) para p(x)=2x² + x − 3

   2(1) − 1 − 3 = −2.
5. Escribe en forma estándar: 6 − 4x + x³ + x

   x³ − 3x + 6.
6. Producto: (2x − 5)²

   4x² − 20x + 25.
7. Factoriza por grupos: x³ − 4x² + x − 4

   (x − 4)(x² + 1).
8. Indica el grado de 7 − 2x⁵ + x⁴

   5.
9. Raíces de x² − 6x + 9

   3 (doble).
10. Completa cuadrado: x² − 8x + 5

    (x − 4)² − 11.
11. Multiplica: (x + 1)(x² + x + 1)

    x³ + 2x² + 2x + 1.
12. Simplifica: 5x − (3x − 4)

    2x + 4.
13. Factoriza: 6x² − 21x

    3x(2x − 7).
14. Producto: (3x + 2)(x − 4)

    3x² − 10x − 8.
15. ¿x=−2 anula p(x)=x²+4x+4?

    Sí, p(−2)=0; (x+2)².
16. Expande: (x − 3)(x² + 3x + 9)

    x³ − 27 (cubo de binomio).
17. Factoriza: 25x² − 1

    (5x − 1)(5x + 1).
18. Multiplica: (2x − 1)(x + 6)

    2x² + 11x − 6.
19. Reduce: (x − 2)³

    x³ − 6x² + 12x − 8.
20. Evalúa p(3) si p(x)=x³ − x

    27 − 3 = 24.

Ejemplos resueltos (8)

1. Divide x³ − 6x² + 11x − 6 entre x − 1

   Cociente x² − 5x + 6; resto 0 (porque 1 es raíz).
2. Divide 2x³ + 3x² − x + 5 entre x + 2

   Cociente 2x² − x + 1; resto 3.
3. Comprueba grados: deg(r) < deg(d)

   En los casos anteriores, r es constante (grado 0) y d es lineal (grado 1).
4. Euclides para polinomios: mcd(x² − 1, x² − x)

   mcd = x − 1.
5. Divide x⁴ − 1 entre x² − 1

   q = x² + 1, r = 0.
6. Divide x³ + 2x² − x − 2 entre x + 1

   q = x² + x − 2, r = 0.
7. Usa la división para simplificar (x³ − 1)/(x − 1)

   Resultado x² + x + 1.
8. Divide 3x³ − 5x + 2 entre x − 2

   q = 3x² + 6x + 7, r = 16 (vía Ruffini).

Ejemplos resueltos (8)

1. Ruffini de p(x)=x³ − 4x² + x + 6 con r=2

   Cociente x² − 2x − 3; resto 0 ⇒ (x − 2)(x² − 2x − 3).
2. Ruffini con huecos: p(x)=2x³ + 0x² − x + 1, r=−1

   Cociente 2x² − 2x + 1; resto 0.
3. Interpreta el resto

   Siempre es p(r), por el teorema del resto.
4. Extrae otro factor: x³ − 6x² + 11x − 6

   Ruffini con r=1,2,3 → factores (x−1)(x−2)(x−3).
5. Si el resto no es 0…

   El divisor no es factor; prueba con otro r o usa división larga.
6. Ruffini con r=0

   Equivale a separar el término independiente: resto p(0) es el término independiente.
7. Ruffini con fracciones (opcional)

   Se puede usar r=p/q (racional) con más cuidado en los productos.
8. Ruffini y multiplicidad

   Si al dividir por (x − r) el resto es 0 repetidas veces, la multiplicidad de r aumenta.

Ejemplos resueltos (6)

1. Calcula el resto de dividir p(x)=2x³ − x² + 4x − 7 entre (x − 2)

   p(2)=2·8 − 4 + 8 − 7 = 13.
2. Comprueba si (x − 3) divide x² − 5x + 6

   p(3)=9 − 15 + 6 = 0 ⇒ sí.
3. Si p(−1)=0, ¿qué factor tiene p?

   (x + 1).
4. Encuentra k para que x − 1 sea factor de x³ + kx² − 5x + 2

   p(1)=1 + k − 5 + 2 = 0 ⇒ k=2.
5. Halla a tal que el resto de dividir por (x − a) sea 5

   p(a)=5 (usa la definición del resto).
6. Si p(x) tiene raíces 1 y −2, escribe factores

   (x − 1)(x + 2)·q(x).

Ejemplos resueltos (6)

1. p(x)=x³ − 4x² − 7x + 10

   Candidatos ±1,±2,±5,±10. Probando: p(−1)=0 ⇒ (x + 1)(x² − 5x + 10).
2. p(x)=2x³ + x² − 8x − 4

   candidatos ±1,±2,±4,±1/2,±1/4,±2 ⇒ r=1 es raíz ⇒ reduce por Ruffini.
3. ¿Y si ningún candidato vale?

   No hay raíces racionales; usa otros métodos (gráfica, numéricos) o factoriza sobre ℝ con cuadráticas.
4. Relación con coeficiente principal ≠1

   Incluye divisores de ese coeficiente en los denominadores.
5. Si el término independiente es 0

   x=0 es raíz; factoriza x.
6. Comprobación final

   Multiplica los factores para verificar.

Ejemplos resueltos (10)

1. x³ − 6x² + 11x − 6

   (x − 1)(x − 2)(x − 3).
2. 2x³ − 3x² − 8x + 12

   Racional r=2 ⇒ (x − 2)(2x² + x − 6) ⇒ (x − 2)(2x − 3)(x + 2).
3. x⁴ − 5x² + 4

   Truco: t=x² ⇒ t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4) ⇒ (x² − 1)(x² − 4) ⇒ (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2).
4. 3x⁴ + 6x³ − 3x²

   3x²(x² + 2x − 1).
5. x³ + x² − 4x − 4

   Grupo: x²(x + 1) − 4(x + 1) = (x + 1)(x² − 4) ⇒ (x + 1)(x − 2)(x + 2).
6. x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1

   (x + 1)⁴ (binomio de Newton).
7. 2x⁴ − 18x² + 32

   2(x⁴ − 9x² + 16) ⇒ intenta t=x²: t² − 9t + 16=(t−1)(t−8) ⇒ 2(x²−1)(x²−8).
8. x³ − 9x

   x(x − 3)(x + 3).
9. x⁵ − x³

   x³(x² − 1)=x³(x − 1)(x + 1).
10. 4x³ − 12x² + 9x

    x(2x − 3)².

Ejemplos resueltos (8)

1. Resuelve x³ − 4x² − x + 4 = 0

   Factoriza por grupos: (x²(x − 4) − 1(x − 4))=(x − 4)(x² − 1) ⇒ raíces 4, ±1.
2. Resuelve 2x³ + x² − 8x − 4 = 0

   r=1 ⇒ divide ⇒ 2x² + 3x − 4 ⇒ raíces 1, (−3±√(9+32))/4 = (−3±√41)/4.
3. Resuelve (x − 2)²(x + 3) ≥ 0

   Signos: raíz doble en 2 (cambia? no), simple en −3. Sol: (−∞,−3] ∪ {2} ∪ [2,∞).
4. Encuentra k para que x=2 sea raíz doble de x³ + kx² + x + 2

   p(2)=0 y p′(2)=0 ⇒ resuelve sistema para k=−5.
5. Resuelve x⁴ − 5x² + 4 ≤ 0

   (x² − 1)(x² − 4) ≤ 0 ⇒ intervalos: [−2,−1] ∪ [1,2].
6. Resuelve x³ − 6x² + 9x = 0

   x(x − 3)²=0 ⇒ x=0, 3 (con 3 doble).
7. Encuentra el polinomio mínimo grado con raíces 1 (doble) y −2

   (x − 1)²(x + 2).
8. Halla parámetros a,b si x=1 y x=−2 anulan x³ + ax² + bx + 6

   p(1)=0 ⇒ 1+a+b+6=0; p(−2)=0 ⇒ −8+4a−2b+6=0 ⇒ resuelve: a=−1, b=−6.

Ejemplos rápidos (5)

1. Esboza y = (x − 1)(x − 3)

   Parábola (abre hacia arriba); corta en x=1 y x=3; vértice en x=2.
2. y = −2x³ + x

   Grado impar, coeficiente principal negativo ⇒ sube a la izquierda y baja a la derecha; corta en x=0, ±√(1/2).
3. y = (x + 2)²(x − 1)

   Toca en −2 (doble) y atraviesa en 1.
4. ¿Cuántos cortes puede tener con el eje x un polinomio de grado n?

   Como máximo n cortes reales (contando multiplicidad).
5. Signo de (x − 2)³ para x < 2

   Negativo (potencia impar de un negativo).

Test rápido (5 preguntas)

Ejercicios propuestos (25) — con solución detallada

1. Divide x³ − 2x² − x + 2 entre x − 1

   q=x² − x − 2, r=0 ⇒ (x − 1)(x² − x − 2).
2. Usa el teorema del resto para calcular p(2) si p(x)=3x³ − x² + 4x − 5

   p(2)=24 − 4 + 8 − 5 = 23.
3. Encuentra todas las raíces de x³ − 3x² − 4x + 12

   r=3 ⇒ divide ⇒ x² − 4 ⇒ raíces 3, ±2.
4. Halla k para que (x − 2) divida x³ + kx² − 5x + 6

   p(2)=8 + 4k − 10 + 6 = 0 ⇒ k=−1.
5. Factoriza x⁴ − 5x² + 6

   (x² − 2)(x² − 3).
6. Resuelve (x − 1)(x + 2)(x − 3) ≥ 0

   Intervalos: (−∞,−2] ∪ [1,3] ∪ [3,∞).
7. Determina m para que x=−1 sea raíz doble de x³ + mx² + x + m

   p(−1)=0 y p′(−1)=0 ⇒ m=0.
8. Aplica Euclides: mcd(x³ − x, x² − 1)

   x² − 1.
9. Factoriza 6x³ − x² − 12x + 2

   r=1/2 ⇒ (2x − 1)(3x² + x − 2) ⇒ (2x − 1)(3x − 2)(x + 1).
10. Esboza y = −x³ + 4x

    Cortes: x=0, ±2; sube izq., baja dcha. Máx/Mín relativos en ±√(4/3).
11. Encuentra el polinomio de menor grado con raíces −2 (doble) y 3

    (x + 2)²(x − 3).
12. Comprueba si x+2 es factor de x³ + 5x² + 8x + 4

    p(−2)=−8+20−16+4=0 ⇒ sí.
13. Divide 2x⁴ − 3x³ + x − 5 entre x² − x + 1

    q=2x² − x − 1, r=−x − 4.
14. Resuelve x⁴ − 7x² + 10 = 0

    t=x² ⇒ (t − 5)(t − 2)=0 ⇒ x=±√5, ±√2.
15. Señala el signo de p(x)=(x−1)²(x+4) para x∈(−4,1)

    Negativo (factor simple x+4<0, doble no cambia signo).
16. Construye p(x) de grado 3 con coef. principal 2 y raíces −1, 2 y 3

    p(x)=2(x+1)(x−2)(x−3).
17. Determina a para que el resto de dividir x³ + ax² + 1 entre (x − 1) sea 5

    p(1)=1 + a + 1 = 5 ⇒ a=3.
18. Factoriza x⁶ − 1

    (x³ − 1)(x³ + 1) = (x − 1)(x² + x + 1)(x + 1)(x² − x + 1).
19. Resuelve (x² − 4)(x − 1) < 0

    Intervalos por signos: (−∞,−2)∪(−2,1)∪(1,2)∪(2,∞) ⇒ solución (−2,1) ∪ (2,∞).
20. Calcula p′(x) de p(x)=(x − 2)³(x + 1)

    p′(x) = (x − 2)²[3(x + 1) + (x − 2)] = (x − 2)²(4x + 1) (útil para mínimos/máximos).
21. Si p(x)=x³ − ax² + bx − 8 tiene raíz 2, halla relación entre a y b

    p(2)=8 − 4a + 2b − 8 = 0 ⇒ 2b = 4a ⇒ b=2a.
22. Encuentra todas las raíces de 2x³ − 5x² − 4x + 12

    r=2 ⇒ divide ⇒ 2x² − x − 6 ⇒ raíces 2, 2, −3/2? (corrige): 2x² − x − 6=(2x+3)(x−2) ⇒ raíces 2 (doble), −3/2.
23. Factoriza x⁴ + 2x³ − x − 2

    Grupo: x³(x+2) − 1(x+2) = (x+2)(x³ − 1) ⇒ (x+2)(x − 1)(x² + x + 1).
24. Determina la multiplicidad de x=0 en p(x)=x⁵ − 3x³ + 2x

    Extrae x ⇒ p=x(x⁴ − 3x² + 2) ⇒ multiplicidad 1 (las otras raíces vienen de la cuadrática en x²).
25. Esboza y=(x−1)⁴

    Grado par, toca el eje en x=1 con aplanamiento (raíz de multiplicidad 4).
26. Resto de dividir 5x⁴ − x³ + 4x − 7 entre (x + 1)

    p(−1)=−5 − 1 − 4 − 7 = −17.