Definición de Trabajo y Potencia
El trabajo no es esfuerzo físico, es una transferencia de energía mediante una fuerza que produce desplazamiento.
1.1 Trabajo Mecánico ($W$)
Es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. Solo cuenta la componente de la fuerza paralela al movimiento.
Fuerza Constante
$$ W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r} = |\vec{F}| |\Delta\vec{r}| \cos\theta $$
- $\theta = 0^\circ \Rightarrow W > 0$ (Motor, gana energía).
- $\theta = 180^\circ \Rightarrow W < 0$ (Resistivo, pierde energía, ej: rozamiento).
- $\theta = 90^\circ \Rightarrow W = 0$ (Fuerzas perpendiculares, como la Normal o Centrípeta, no realizan trabajo).
Fuerza Variable (Nivel Uni)
Si la fuerza cambia con la posición, usamos la integral de línea:
$$ W = \int_{A}^{B} \vec{F} \cdot d\vec{r} $$
1.2 Potencia ($P$)
Es la rapidez con la que se realiza el trabajo. Unidad SI: Vatio (Watt, W).
$$ P_m = \frac{W}{\Delta t} \quad ; \quad P_{inst} = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v} $$
Formas de Energía Mecánica
2.1 Energía Cinética ($E_k$)
Energía asociada al movimiento. Siempre positiva.
$$ E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{p^2}{2m} $$
2.2 Energía Potencial ($E_p$ o $U$)
Energía almacenada debida a la posición en un campo de fuerzas conservativo.
Potencial Gravitatoria (cerca superficie)
$$ E_{pg} = m g h $$
Potencial Elástica (Ley de Hooke)
$$ E_{pe} = \frac{1}{2} k x^2 $$
2.3 Relación Fuerza-Energía (UNI)
La fuerza conservativa es el gradiente negativo de la energía potencial.
$$ F_x = - \frac{dU}{dx} \quad ; \quad \vec{F} = - \nabla U $$
Teoremas de Conservación
Las herramientas más potentes de la física clásica para resolver problemas sin usar Newton.
3.1 Teorema de las Fuerzas Vivas
El trabajo TOTAL (de todas las fuerzas) es igual al cambio de Energía Cinética.
$$ W_{total} = \Delta E_k = E_{k,f} - E_{k,0} $$
3.2 Trabajo de Fuerzas Conservativas
El trabajo de fuerzas como el peso o el muelle es igual a la disminución de Energía Potencial.
$$ W_{cons} = - \Delta E_p $$
3.3 Conservación de la Energía Mecánica
La Energía Mecánica es la suma de Cinética y Potencial: $E_m = E_k + E_p$.
$$ W_{no\_cons} = \Delta E_m $$
- Si no hay rozamiento ni motores ($W_{nc} = 0$): $$ E_{m,inicial} = E_{m,final} \Rightarrow \Delta E_k + \Delta E_p = 0 $$
- Con rozamiento ($W_{fr} < 0$): $$ E_{m,f} = E_{m,0} - |W_{roz}| $$
Batería de 30 Problemas (Reto Matemático)
Desde planos inclinados básicos hasta potenciales variables y bucles.
EBAU Trabajo de Freno: Un coche de 1000 kg a 108 km/h frena hasta detenerse en 50 m. Calcular el trabajo de los frenos y la fuerza media ejercida.
1. Conversión: $v_0 = 30$ m/s, $v_f = 0$.
2. Teorema F. Vivas: $W_{total} = \Delta E_k$.
3. $W = 0 - 0.5(1000)(30)^2 = -450,000$ J.
4. Fuerza: $W = F \cdot d \cdot \cos(180) = -F \cdot 50$.
5. $-450000 = -50 F \Rightarrow F = 9000$ N.
W = -450 kJ ; F = 9000 N
HARD Plano con Rozamiento: Bloque lanzado hacia arriba por plano de 30º con $v_0=10$ m/s. $\mu=0.2$. ¿Altura máxima alcanzada?
1. Balance: $E_{m,f} - E_{m,0} = W_{roz}$.
2. $E_{m,0} = 0.5 m v_0^2$. $E_{m,f} = mgh$.
3. $W_{roz} = -\mu N d = -\mu (mg \cos 30) (h / \sin 30)$.
4. $mgh - 0.5mv_0^2 = - \mu mg \cot 30 \cdot h$. (Masas fuera).
5. $gh(1 + \mu \cot 30) = 0.5 v_0^2 \Rightarrow 9.8h(1 + 0.346) = 50$.
h = 3.79 m
HARD Looping con Muelle: Resorte ($k=1000$ N/m) comprimido 0.5 m lanza bloque de 2 kg. Pasa por un rizo de $R=1$m. ¿Fuerza normal en la cima del rizo?
1. Energía A (Muelle) $\to$ Cima (B). No hay rozamiento.
2. $0.5 k x^2 = mg(2R) + 0.5 m v_B^2$.
3. $0.5(1000)(0.25) = 2(9.8)(2) + 0.5(2)v_B^2 \Rightarrow 125 = 39.2 + v_B^2 \Rightarrow v_B^2 = 85.8$.
4. Dinámica en Cima: $N + mg = m v_B^2 / R$.
5. $N = 2(85.8)/1 - 2(9.8) = 171.6 - 19.6$.
N = 152 N
UNI Fuerza Variable: Una partícula se mueve bajo $F(x) = 3x^2 - 2x$ (N). Calcule el trabajo para moverla de $x=1$ a $x=3$ m. Si parte del reposo ($m=2$kg), ¿velocidad final?
1. $W = \int_1^3 (3x^2 - 2x) dx = [x^3 - x^2]_1^3$.
2. $W = (27 - 9) - (1 - 1) = 18$ J.
3. $W = \Delta E_k = 0.5 m v^2 - 0$.
4. $18 = 0.5(2)v^2 \Rightarrow v^2 = 18$.
W = 18 J ; v = 4.24 m/s
EBAU Bomba de Agua: Motor eleva 500 litros de agua a 20 m de altura cada minuto. Si el rendimiento es 75%, ¿potencia consumida?
1. Masa = 500 kg. $t = 60$ s. $h=20$ m.
2. Trabajo útil: $W = mgh = 500(9.8)(20) = 98000$ J.
3. Potencia útil: $P_u = 98000 / 60 = 1633.3$ W.
4. Rendimiento: $\eta = P_u / P_{cons} \Rightarrow P_{cons} = 1633.3 / 0.75$.
P = 2177 W (2.9 CV)
HARD Péndulo con Clavo: Péndulo de longitud $L$ se suelta horizontalmente. En la vertical choca con un clavo a distancia $d$ bajo el pivote. ¿Mínimo $d$ para que la bola complete la vuelta alrededor del clavo?
1. E. Inicial (Horizontal): $E_0 = mgL$ (ref en punto bajo).
2. E. Cima del nuevo círculo (Radio $r = L-d$): Altura $2r$. Vel crítica $\sqrt{gr}$.
3. $E_{top} = mg(2r) + 0.5m(gr) = 2.5mgr$.
4. Conservación: $mgL = 2.5 mg r \Rightarrow L = 2.5 r$.
5. $r = 0.4L$. Como $d = L - r = L - 0.4L$.
d_min = 0.6 L
UNIGradiente de Potencial: $U(x,y) = x^2 + 3y$. Fuerza en (1,2).
$\vec{F} = -\nabla U = (-2x)\hat{i} + (-3)\hat{j}$. En (1,2): $\vec{F} = -2\hat{i} - 3\hat{j}$ N.
EBAU¿El trabajo de la fuerza centrípeta?
CERO. Siempre es perpendicular al desplazamiento. No cambia la rapidez.
HARDCadena cayendo de mesa (L=2m, m=4kg). Trabajo.
Centro de masas baja $L/2$. $W = \Delta E_p = mg(L/2) = 4(9.8)(1) = 39.2$ J.
EBAUCoche sube pendiente a $v$ cte. Potencia.
$F_{motor}$ equilibra $P_x$ y $F_{roz}$. $P = F \cdot v$.
UNIVelocidad de escape de la Tierra.
$E_{mec}=0$ (infinito). $0.5mv^2 - GMm/R = 0 \Rightarrow v = \sqrt{2GM/R}$.
HARDBloque contra resorte en plano rugoso. Compresión máx.
$0.5mv^2 = 0.5kx^2 + \mu mg x$. Resolver cuadrática para x.
EBAUTrabajo al sostener una pesa de 100 kg quieto.
CERO. No hay desplazamiento ($\Delta x = 0$).
UNIPotencial de Lennard-Jones (Moléculas). Equilibrio.
Derivar $U(r)$ e igualar a 0 para hallar la distancia de equilibrio (Fuerza nula).
EBAUSi velocidad se duplica, ¿cómo cambia $E_k$?
Se cuadruplica ($v^2$). Frenar cuesta 4 veces más.
HARDAtwood con energía: Velocidad tras caer $h$.
$\Delta E_p = \Delta E_k$. $(m_2-m_1)gh = 0.5(m_1+m_2)v^2$.
EBAUkWh ¿es unidad de potencia o energía?
ENERGÍA. $kW \cdot h = (1000 J/s) \cdot 3600 s = 3.6$ MJ.
UNICampo Conservativo: Condición $\nabla \times \vec{F} = 0$.
El rotacional debe ser nulo. Implica que $\partial F_x/\partial y = \partial F_y/\partial x$.
HARDEsquiador salta trampolín. Altura máx vuelo.
Conservación Energía + Cinemática de tiro parabólico.
EBAUTrabajo de la fuerza de rozamiento en ciclo cerrado.
Negativo y distinto de cero. No es conservativa.
HARDColumpio: Tensión abajo vs extremo (90º).
Abajo: $T = mg + 2mg = 3mg$. Extremo: $T=0$ (si cae) o $mg \cos\theta$.
UNITeorema Virial (Sistemas gravitatorios).
$2\langle E_k \rangle + \langle E_p \rangle = 0$. Relación promedio temporal.
EBAUGráfica F-x. Área bajo la curva.
Representa el Trabajo realizado.
HARDPéndulo balístico: Bala choca y sube bloque.
Momento lineal (choque) + Energía (subida). No se conserva E en el choque.
EBAUSignificado de Potencia negativa.
El sistema está entregando energía al entorno (frenado regenerativo).
UNITrabajo de fuerza $\vec{F}=y\hat{i}$ en cuadrado.
Calcular integral de línea en trayectoria cerrada. Si $\neq 0$, no conservativo.
HARDCoche acelera con potencia P constante. $v(t)$.
$P = Fv = mav$. $a = P/mv$. Integrando: $v(t) \propto \sqrt{t}$.
EBAU¿Puede $E_k$ ser negativa? ¿Y $E_p$?
$E_k$ NO (masa y $v^2$ positivos). $E_p$ SÍ (depende del nivel de referencia).
HARDDeslizamiento con muelle: $h$ para comprimir $x$.
$mgh = 0.5kx^2 + \mu mg \cos\theta (h/\sin\theta)$. Balance total.
EBAUTrabajo de la Normal en plano inclinado.
CERO. La Normal es perpendicular al desplazamiento sobre el plano.