Fundamentos del Espacio Vectorial

Un vector fijo $\vec{AB}$ está determinado por dos puntos: Origen A y Extremo B. Se caracteriza por Módulo (longitud), Dirección (recta) y Sentido (flecha).

1.1 Definición Algebraica

En una base ortonormal $\{\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\}$, un vector se expresa por sus componentes:

$$ \vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k} = (v_x, v_y, v_z) $$ $$ \vec{AB} = B - A = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) $$

1.2 Módulo y Vector Unitario

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} $$ $$ \vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \quad \text{(Vector unitario en la dirección de } \vec{v}) $$

1.3 Dependencia Lineal

Un conjunto de vectores es Linealmente Dependiente (LD) si uno de ellos puede escribirse como combinación lineal de los otros. En $\mathbb{R}^3$, si el determinante de tres vectores es 0, son coplanarios (LD).

Operaciones Vectoriales

2.1 Producto Escalar (Dot Product)

El resultado es un número (escalar). Mide la proyección de un vector sobre otro.

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\alpha $$ $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 $$
  • Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, los vectores son PERPENDICULARES (Ortogonales).
  • Permite calcular el ángulo $\alpha$.

2.2 Producto Vectorial (Cross Product)

El resultado es un vector perpendicular a ambos. Su módulo es el área del paralelogramo que forman.

$$ \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} $$ $$ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin\alpha $$

2.3 Producto Mixto

Combina escalar y vectorial. Su valor absoluto es el Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

$$ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) $$

Aplicaciones Geométricas

3.1 Proyección Ortogonal

La sombra de un vector $\vec{u}$ sobre otro $\vec{v}$.

$$ \text{Proy}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} $$ $$ |\text{Proy}| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|} $$

3.2 Cálculo de Áreas y Volúmenes

  • Área Triángulo (ABC): Mitad del área del paralelogramo. $$ A = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| $$
  • Volumen Tetraedro (ABCD): Un sexto del paralelepípedo. $$ V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]| $$

3.3 Ecuación de la Recta y Plano

  • Recta: Definida por Punto $P$ y Vector Director $\vec{d}$.
  • Plano: Definido por Punto $P$ y Vector Normal $\vec{n}$ (perpendicular al plano).

Batería de Problemas (30)

Ejercicios de Selectividad (EBAU) y retos de Álgebra Lineal para Ingeniería.

EBAU Determine el valor de \(m\) para que los vectores \(\vec{u}=(1, m, 2)\) y \(\vec{v}=(m, 3, -4)\) sean ortogonales.
1. Condición de ortogonalidad: Producto escalar nulo (\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)).
2. \((1)(m) + (m)(3) + (2)(-4) = 0\).
3. \(m + 3m - 8 = 0 \Rightarrow 4m = 8 \Rightarrow m = 2\).
m = 2
EBAU Calcule el ángulo que forman los vectores \(\vec{a}=(1, 1, 0)\) y \(\vec{b}=(0, 1, 1)\).
1. \(\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\).
2. Producto escalar: \(1(0) + 1(1) + 0(1) = 1\).
3. Módulos: \(|\vec{a}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\). \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\).
4. \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\).
α = 60º
HARD Vector Bisectriz: Halle un vector unitario que divida por la mitad el ángulo formado por \(\vec{u}=(3, 4)\) y \(\vec{v}=(5, 12)\).
1. Para sumar direcciones equitativamente, los vectores deben tener el mismo módulo (ser unitarios).
2. \(\vec{u}' = \vec{u}/|\vec{u}| = (3/5, 4/5)\).
3. \(\vec{v}' = \vec{v}/|\vec{v}| = (5/13, 12/13)\).
4. Vector bisectriz \(\vec{w} = \vec{u}' + \vec{v}' = (3/5+5/13, 4/5+12/13) = (64/65, 112/65)\).
5. Simplificando la dirección: \((64, 112)\) o \((4, 7)\). Normalizar si pide unitario.
dir(4, 7)
EBAU Dados \(A(1, 2, 3)\), \(B(0, -1, 2)\) y \(C(2, 1, 1)\). Calcule el área del triángulo ABC.
1. Vectores: \(\vec{AB} = (-1, -3, -1)\), \(\vec{AC} = (1, -1, -2)\).
2. Producto vectorial \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (5, -3, 4)\).
3. Área = \(\frac{1}{2} |\vec{w}| = \frac{1}{2} \sqrt{25 + 9 + 16} = \frac{1}{2} \sqrt{50}\).
4. \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\).
Area ≈ 3.54 u²
HARD Vector Perpendicular a dos: Halle un vector unitario ortogonal simultáneamente a \(\vec{u}=(2, -1, 5)\) y \(\vec{v}=(-1, 3, 0)\).
1. Usamos el producto vectorial \(\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}\).
2. \(\vec{w} = (-15, -5, 5)\). Podemos simplificar usando la dirección \((-3, -1, 1)\).
3. Módulo de \((-3, -1, 1)\) es \(\sqrt{9+1+1} = \sqrt{11}\).
4. Vector unitario: \(\frac{1}{\sqrt{11}}(-3, -1, 1)\).
1/√11 (-3, -1, 1)
EBAU Volumen Tetraedro: Vértices en el origen \(O\) y los puntos \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\) y \(C(0,0,3)\).
1. Vectores desde el origen coinciden con las coordenadas.
2. Producto mixto: Determinante de la matriz diagonal 3x3.
3. \(\det = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\).
4. Volumen Tetraedro = \(\frac{1}{6} |det| = 1\).
V = 1 u³
UNI Coplanaridad: Determine \(k\) para que los vectores \(\vec{u}=(1, 2, 3)\), \(\vec{v}=(0, k, 1)\) y \(\vec{w}=(1, 0, 1)\) sean linealmente dependientes (coplanarios).
1. Condición: Su determinante (producto mixto) debe ser 0.
2. \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & k & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (k + 2 + 0) - (3k + 0 + 0) = 2 - 2k\).
3. \(2 - 2k = 0 \Rightarrow k = 1\).
k = 1
UNI Proyección Ortogonal: Calcule la proyección del vector \(\vec{a}=(2, 1)\) sobre la dirección del vector \(\vec{b}=(3, 4)\).
1. Fórmula: \(|\text{Proy}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\).
2. Producto escalar: \(6 + 4 = 10\). Módulo de b: 5.
3. Longitud proyección = \(10/5 = 2\).
4. Vector proyección: Longitud por vector unitario de b. \(2 \cdot (3/5, 4/5)\).
(6/5, 8/5)
UNI Base Ortonormal (Gram-Schmidt): Dada la base \(B = \{(1,1), (1,0)\}\), construya una base ortonormal a partir de ella.
1. Primer vector \(\vec{u}_1 = (1,1)\). Normalizar: \(\vec{e}_1 = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})\).
2. Segundo vector \(\vec{v}_2 = (1,0)\). Restar proyección sobre \(\vec{e}_1\).
3. \(\vec{u}_2 = \vec{v}_2 - (\vec{v}_2 \cdot \vec{e}_1)\vec{e}_1\).
4. \(\vec{u}_2 = (1,0) - \frac{1}{\sqrt{2}}(1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}) = (1,0) - (0.5, 0.5) = (0.5, -0.5)\).
5. Normalizar \(\vec{u}_2\) para obtener \(\vec{e}_2\).
{(1/√2, 1/√2), (1/√2, -1/√2)}
EBAU¿El producto escalar es conmutativo?
Sí. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\).
EBAU¿El producto vectorial es conmutativo?
No. Es anticonmutativo: \(\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})\).
UNIIdentidad de Lagrange: \(|\vec{u} \times \vec{v}|^2\).
Es igual a \(|\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2\).
EBAUDistancia entre puntos A(1,2) y B(4,6).
Módulo de \(\vec{AB} = (3,4)\). \(d=5\).
EBAUVector director de la recta \(2x + 3y = 5\).
Normal \(\vec{n}=(2,3)\). Director \(\vec{d}=(-3, 2)\).
HARDÁrea de paralelogramo con diagonales \(\vec{d}_1, \vec{d}_2\).
\(A = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|\).
UNIDistancia punto a plano \(Ax+By+Cz+D=0\).
\(\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
EBAUMódulo del vector \(\vec{v} = (2, 3, \sqrt{3})\).
\(\sqrt{4+9+3} = \sqrt{16} = 4\).
EBAUCondición para que dos vectores sean paralelos.
Sus componentes son proporcionales (\(\vec{u} = k\vec{v}\)) o su producto vectorial es 0.
HARDPunto simétrico de P respecto a Q.
\(P' = Q + \vec{PQ}\) o \(Q = (P+P')/2\).
UNIVolumen paralelepípedo dados 4 vértices.
Formar 3 vectores desde un vértice común y hacer producto mixto.
EBAUVector unitario eje Z.
\(\vec{k} = (0, 0, 1)\).
EBAUValor de \(k\) para que \(|\vec{v}=(3, k)| = 5\).
\(9 + k^2 = 25 \Rightarrow k = \pm 4\).
HARDÁngulo entre diagonales de un cubo.
Vectores \((1,1,1)\) y \((1,1,-1)\) (ejemplo). \(\cos\alpha = 1/3 \Rightarrow \alpha \approx 70.5^\circ\).
UNIDescomponer vector \(\vec{v}\) en componente paralela y normal a \(\vec{u}\).
\(\vec{v}_{\parallel} = \text{Proy}_{\vec{u}}(\vec{v})\), \(\vec{v}_{\perp} = \vec{v} - \vec{v}_{\parallel}\).
EBAU¿Cuánto vale \(\vec{i} \times \vec{j}\)?
\(\vec{k}\).
EBAU¿Cuánto vale \(\vec{i} \cdot \vec{k}\)?
\(0\) (son perpendiculares).
HARDBaricentro de un triángulo vértices ABC.
\(G = \frac{A+B+C}{3}\).
UNIMomento de una fuerza \(\vec{F}\) respecto a \(O\) aplicada en \(P\).
\(\vec{M} = \vec{OP} \times \vec{F}\).
EBAUCombinación lineal de vectores.
\(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\).
HARDEcuación del plano que pasa por A, B, C.
Vector normal \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}\). Luego \(n_x x + n_y y + n_z z + D = 0\).